Алгебра над кольцом

Эта статья — о модуле, снабженном произведением. Об алгебраических системах с пустым множеством отношений см. Алгебра (универсальная алгебра); о разделе математики см. Алгебра.

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

ОпределенияПравить

Пусть $K$$K$  — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль $A$$A$  над кольцом $K$$K$ , в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом $K$$K$ ) $f:<!--\; :\; -->A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->A$$f\colon A\times A\rightarrow A$  определено произведение согласно равенству $ab=f(a,b)$$ab=f(a,b)$ , называется алгеброй над $K$$K$  или $K$$K$ -алгеброй.

Согласно определению, для всех $k,l\in <!--\; \in \; -->K$$k,\;l\in K$  и $a,b,c\in <!--\; \in \; -->A$$a,\;b,\;c\in A$  справедливы соотношения:

1. $a(b+c)=ab+ac$$a(b+c)=ab+ac$ 
2. $(a+b)c=ac+bc$$(a+b)c=ac+bc$ 
3. $(k+l)a=ka+la$$(k+l)a=ka+la$ 
4. $k(a+b)=ka+kb$$k(a+b)=ka+kb$ 
5. $k(la)=(kl)a$$k(la)=(kl)a$ 
6. $k(ab)=(ka)b=a(kb)$$k(ab)=(ka)b=a(kb)$ 
7. $1a=a$$1a=a$ , где $1$$1$  — единица кольца $K$$K$ 

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для $a$$a$ , $b\in <!--\; \in \; -->A$$b\in A$  коммутатор определён равенством $[a,b]=ab-<!--\; -\; -->ba$$[a,b]=ab-ba$ . $K$$K$ -алгебра называется коммутативной, если $[a,b]=0$$[a,b]=0$ .

Для $a,b,c\in <!--\; \in \; -->A$$a,b,c\in A$  ассоциатор определён равенством $(a,b,c)=(ab)c-<!--\; -\; -->a(bc)$$(a,b,c)=(ab)c-a(bc)$ . $K$$K$ -алгебра называется ассоциативной, если $(a,b,c)=0$$(a,b,c)=0$ .

Если существует элемент $e\in <!--\; \in \; -->A$$e\in A$  такой, что $ea=ae=a$$ea=ae=a$  для всех $a\in <!--\; \in \; -->A$$a\in A$ , то $e$$e$  называется единицей алгебры $A$$A$ , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия $k(ab)=(ka)b=a(kb)$$k(ab)=(ka)b=a(kb)$  требуют более слабое: $k(ab)=(ka)b$$k(ab)=(ka)b$ .

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение $na$$na$  (где $n$$n$  — целое число) обычно, то есть как сумму $n$$n$  копий $a$$a$ . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения $f$$f$  выбрать полилинейное отображение $g:A^n\to <!--\; \to \; -->A$$g:A^{n}\rightarrow A$  и определить произведение согласно правилу: $a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_n=g(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)$$a_{1}\dots a_{n}=g(a_{1},\dots ,a_{n})$ , то полученная алгебраическая структура называется $n$$n$ -алгеброй.

Свободная алгебраПравить

Запрос «Свободная алгебра» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Не следует путать с со свободной алгеброй в универсальной алгебре.

Если алгебра $A$$A$  над коммутативным кольцом $K$$K$  является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом $K$$K$ . Если алгебра $A$$A$  имеет конечный базис, то алгебра $A$$A$  называется конечномерной.

Если $K$$K$  является полем, то, по определению, $K$$K$ -алгебра является векторным пространством над $K$$K$ , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают $e_1,\dots <!--\; \dots \; -->,e_n$$e_{1},\dots ,e_{n}$ . Если алгебра имеет единицу $e$$e$ , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают $e_0=e$$e_{0}=e$ . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

$e_i{e}_j=C_{ij}^k{e}_k$$e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}$ .

А именно, если $a=a^k{e}_k$$a=a^{k}e_{k}$ , $b=b^k{e}_k$$b=b^{k}e_{k}$ , то произведение можно представить в виде:

$ab=C_{ij}^k{a}^i{b}^j{e}_k$$ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}$ .

Величины $C_{ij}^k\in <!--\; \in \; -->K$$C_{{ij}}^{k}\in K$  называются структурными константами алгебры $A$$A$ .

Если алгебра коммутативна, то:

$C_{ij}^k=C_{ji}^k$$C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}$ .

Если алгебра ассоциативна, то:

$C_{ij}^k{C}_{ml}^j=C_{im}^j{C}_{jl}^k$$C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}$ .

СвойстваПравить

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем $K$$K$  в качестве гомоморфного образа можно получить любую ассоциативно-коммутативную алгебру над $K$$K$ .

Отображение алгебрыПравить

Возможно рассматривать алгебру $A$$A$  над коммутативным кольцом $K$$K$  как модуль $A$$A$  над коммутативным кольцом $K$$K$ . Отображение $f:A\to <!--\; \to \; -->B$$f:A\rightarrow B$  алгебры $A$$A$  над коммутативным кольцом $K$$K$  в алгебру $B$$B$  над кольцом $K$$K$  называется линейным, если:

$f(a+b)=f(a)+f(b)$$f(a+b)=f(a)+f(b)$ ,

$f(ka)=kf(a)$$f(ka)=kf(a)$ .

для любых $a$$a$ , $b\in <!--\; \in \; -->A$$b\in A$ , $k\in <!--\; \in \; -->K$$k\in K$ . Множество линейных отображений алгебры $A$$A$  в алгебру $B$$B$  обозначается символом $\mathcal{L}(A;B)$${\mathcal L}(A;B)$ .

Линейное отображение $f:A\to <!--\; \to \; -->B$$f:A\rightarrow B$  алгебры $A$$A$  в алгебру $B$$B$  называется гомоморфизмом, если $f(ab)=f(a)f(b)$$f(ab)=f(a)f(b)$  для любых $a,b\in <!--\; \in \; -->A$$a,b\in A$ , а также выполнено условие: если алгебры $A$$A$  и $B$$B$  имеют единицу, то:

$f(e_A)=e_B$$f(e_{A})=e_{B}$ .

Множество гомоморфизмов алгебры $A$$A$  в алгебру $B$$B$  обозначается символом $H(A;B)$$H(A;B)$ .

Очевидно, что $H(A;B)\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathcal{L}(A;B)$$H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$ .

ПримерыПравить

Общие:

• алгебры квадратных матриц
• алгебры многочленов
• алгебра формальных степенных рядов

Алгебры над полем вещественных чисел:

• комплексные числа
• двойные числа
• дуальные числа
• кватернионы

ЛитератураПравить

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.