Факторалгебра

Эта статья — о конструкции для алгебр над полем. О факторалгебре в универсальной алгебре см. факторсистема.

Факторалгебра — понятие в общей алгебре, определяемое следующим образом.

Пусть $\mathrm{A}$${\mathrm {A}}$ — алгебра над полем $\mathrm{K}$$\mathrm{K}$ и $\mathrm{J}$${\mathrm {J}}$ — двусторонний идеал в алгебре $\mathrm{A}$${\mathrm {A}}$. Рассматривая алгебру $\mathrm{A}$${\mathrm {A}}$ как кольцо, определим факторкольцо $\mathrm{A}/\mathrm{J}$${\mathrm {A}}/{\mathrm {J}}$, которое можно превратить в алгебру над $\mathrm{K}$$\mathrm{K}$, если определить в ней умножение на элементы поля $\mathrm{K}$$\mathrm{K}$ по следующему правилу:

$k(a+\mathrm{J})=ka+\mathrm{J},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k\in <!--\; \in \; -->\mathrm{K},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathrm{A}$$k(a+{\mathrm {J}})=ka+{\mathrm {J}},\quad \forall k\in {\mathrm {K}},\ \forall a\in {\mathrm {A}}$.

Построенная таким образом алгебра $\mathrm{A}/\mathrm{J}$${\mathrm {A}}/{\mathrm {J}}$ называется факторалгеброй алгебры $\mathrm{A}$${\mathrm {A}}$ по идеалу $\mathrm{J}$${\mathrm {J}}$.

ПримерПравить

Важный пример факторалгебры (в алгебре формальных степенных рядов от нескольких переменных) связан с определением кратности критической точки гладкой функции.

Связанные определенияПравить

Каноническим гомоморфизмом для алгебры $\mathrm{A}$${\mathrm {A}}$ , связанным с данным идеалом $\mathrm{J}$${\mathrm {J}}$ , для которого определена факторалгебра $\mathrm{A}/\mathrm{J}$${\mathrm {A}}/{\mathrm {J}}$ , называется гомоморфизм $\mathrm{A}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{A}/\mathrm{J}$${\mathrm {A}}\to {\mathrm {A}}/{\mathrm {J}}$  с ядром $\mathrm{J}$${\mathrm {J}}$ , определённый формулой $a\mapsto <!--\; \mapsto \; -->a+\mathrm{J},\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathrm{A}$$a\mapsto a+{\mathrm {J}},\ \,\forall a\in {\mathrm {A}}$ .

ЛитератураПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.