Альтернатива Жиса — Маргулиса

Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.

ВведениеПравить

В 1987 году Этьен Жис^[fr] и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$${\rm {Homeo}}(S^{1})$  не удовлетворяет альтернативе Титса. А именно, группа Томпсона $F$$F$ , которая вкладывается в группу $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$${\rm {Homeo}}(S^{1})$ , не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы.

В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем Маргулисом.

ФормулировкаПравить

Для любой подгруппы $G⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$$G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})$  выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• на окружности $S^1$$S^{1}$  существует борелевская вероятностная мера, инвариантная относительно действия группы $G$$G$ ;
• группа $G$$G$  содержит свободную подгруппу ранга два.

Во втором случае группа $G$$G$  также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их.

ПримерыПравить

Если все элементы группы $G$$G$  являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности $S^1$$S^{1}$  инвариантна относительно действия группы $G$$G$ .

Если действие группы $G$$G$  на окружности $S^1$$S^{1}$  имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее дельта-мер Дирака^[en], соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно $G$$G$ .

Для группы Томпсона $T$$T$  реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее).

СледствияПравить

Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности.

Для любой подгруппы $G⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$$G\leqslant {\rm {Homeo}}(S^{1})$ , действующей на окружности $S^1$$S^{1}$  минимально, выполняется в точности одно из следующих условий:

• группа $G$$G$  содержит абелеву подгруппу индекса не более два и действие $G$$G$  на $S^1$$S^{1}$  сопряжено действию изометриями, а точнее, существует такой сохраняющий ориентацию автогомеоморфизм $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:<!--\; :\; -->S^1\to <!--\; \to \; -->S^1$$\varphi \colon S^{1}\to S^{1}$ , что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}G{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(S^1)$$\varphi G\varphi ^{-1}\leqslant {\rm {Isom}}(S^{1})$ ;
• группа $G$$G$  содержит свободную подгруппу ранга два.

В случае, если все гомеоморфизмы из $G$$G$  сохраняют ориентацию, то есть $G⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}_{+}(S^1)$$G\leqslant {\rm {Homeo}}_{+}(S^{1})$ , в первом условии можно заменить $\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(S^1)$${\rm {Isom}}(S^{1})$  на группу вращений ${\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{+}(S^1)\cong <!--\; \cong \; -->{\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(\mathbb{R})$${\rm {Isom}}_{+}(S^{1})\cong {\rm {SO}}_{2}(\mathbb {R} )$  и, тем самым, в этом случае группа $G$$G$  сама абелева.

Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — Маргулиса. В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью. Любая борелевская вероятностная мера на окружности $S^1$$S^{1}$ , носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру Леберга. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями.

ДоказательствоПравить

В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру.

Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем.

Если действие группы $G$$G$  на окружности $S^1$$S^{1}$  равномерно непрерывно, то замыкание группы $G$$G$  в пространстве $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$${\rm {Homeo}}(S^{1})$ , рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыкании.

Если минимальное действие $G$$G$  на окружности $S^1$$S^{1}$  не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек $x,y\in <!--\; \in \; -->S^1$$x,y\in S^{1}$  существует такая бесконечная последовательность $\{g_i\}$$\{g_{i}\}$  элементов из $G$$G$ , что

$\underset{i\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{g}_i(x)=\underset{i\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{g}_i(y)$$\lim _{i\to \infty }g_{i}(x)=\lim _{i\to \infty }g_{i}(y)$ .

Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима лемма о пинг-понге^[en], откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два.

ЛитератураПравить

• Ghys, É. Groups acting on the circle (англ.). — L'Enseignement mathématique^[fr], 2001. — Vol. 47. — P. 329–407.

СсылкиПравить

• Ghys, É, Sergiescu, V. Sur un groupe remarquable de difféomorphismes du cercle (фр.). — Commentarii Mathematici Helvetici^[en], 1987. — Vol. 62. — P. 185–239.
• Margulis, G. Free subgroups of the homeomorphism group of the circle (англ.) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics^[en]. — 2000. — Vol. 331, iss. 9. — P. 669–674. — doi:10.1016/S0764-4442(00)01694-3.