Компактно-открытая топология

Компактно-открытая топология — естественная топология на пространстве $C(X,Y)$$C(X,Y)$ — пространстве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами $X\to <!--\; \to \; -->Y$$X\to Y$, предбазу которой образуют множества отображений вида

$W_{K,U}=\{f\in <!--\; \in \; -->C(X,Y)|f(K)\subset <!--\; \subset \; -->U\},$$W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},$

где $U\subset <!--\; \subset \; -->Y$$U\subset Y$ — открытое множество, а $K\subset <!--\; \subset \; -->X$$K\subset X$ — компактное множество.

СвойстваПравить

• Если $X$$X$  компактно, а $Y$$Y$  метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_n$$f_n$  в $C(X,Y)$$C(X,Y)$  означает равномерную сходимость.
  • Более общо: если $Y$$Y$  метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_n$$f_n$  в $C(X,Y)$$C(X,Y)$  означает равномерную сходимость сужений $f_n|K$$f_{n}|K$  для любого компактного множества $K\subset <!--\; \subset \; -->X$$K\subset X$ .

ЛитератураПравить

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии