Замыкание (топология)

Замыка́ние — конструкция, дающая наименьшее замкнутое множество, содержащее данное множество топологического пространства.

Замыкание множества $S$$S$ обычно обозначается $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}.$$\bar S.$ Другие обозначения: $\mathrm{cl}<!--\; \; -->(S),\mathrm{Cl}<!--\; \; -->(S).$$\operatorname {cl} (S),\operatorname {Cl} (S).$

ОпределенияПравить

Следующие два определения равносильны.

Как наименьшее замкнутое множествоПравить

Пусть $S$$S$  есть подмножество топологического пространства $X.$$X.$  Замыканием $S$$S$  в $X$$X$  называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $S.$$S.$ 

Замечание. Поскольку пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто, замыкание всегда замкнуто.

Через точки прикосновенияПравить

Точка $x$$x$  топологического пространства $X$$X$  называется точкой прикосновения множества $S,$$S,$  если любая окрестность $x$$x$  содержит хотя бы одну точку множества $S.$$S.$ 

Множество всех точек прикосновения $S$$S$  называется замыканием $S.$$S.$ 

СвойстваПравить

1. Замыкание множества замкнуто.
2. Замыкание множества содержит само множество, то есть

   $S\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}.$$S\subseteq {\bar {S}}.$ 

3. Замыкание множества содержит все его предельные точки.
4. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, то есть

   $S=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}.$$S=\bar{S}.$ 

5. Свойство идемпотентности: повторное применение операции замыкания не изменяет результат (что сразу вытекает из свойств 1 и 4):

   $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}.$$\bar{\bar{S}}=\bar{S}.$ 

6. Замыкание сохраняет отношение вложения, то есть

   $(S\subset <!--\; \subset \; -->T)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{T}).$$(S\subset T)\Rightarrow(\bar{S}\subset\bar{T}).$ 

7. Замыкание объединения есть объединение замыканий, то есть

   $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S\cup <!--\; \cup \; -->T}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}\cup <!--\; \cup \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{T}.$$\overline{S\cup T}=\bar{S}\cup\bar{T}.$ 

8. Замыкание пересечения является подмножеством пересечения замыканий, то есть

   $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S\cap <!--\; \cap \; -->T}\subset <!--\; \subset \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{S}\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{T}.$$\overline{S\cap T}\subset\bar{S}\cap\bar{T}.$ 

ПримерыПравить

Во всех нижеследующих примерах топологическим пространством является числовая прямая $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  с заданной на ней стандартной топологией.

• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{(a,b)}=[a,b];$$\overline{(a,\;b)}=[a,\;b];$ 
• $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbb{Q}}=\mathbb{R},$$\bar{\Q}=\R,$  где $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  — множество рациональных чисел.