Минимальность (динамические системы)

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

ОпределенияПравить

Динамическая система $(X,T)$$(X,T)$  называется минимальной, если для любого замкнутого

$A\subset <!--\; \subset \; -->X,T(A)=A$$A\subset X,\quad T(A)=A$ ,

либо $A$$A$  пусто, либо совпадает со всем $X$$X$ .

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество $Y\subset <!--\; \subset \; -->X,Y\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$  фазового пространства системы $(X,T)$$(X,T)$  называется минимальным множеством, если ограничение $(Y,T{|}_Y)$$(Y,T|_{Y})$  системы на него минимально.

СвойстваПравить

• Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
• Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).

ПримерыПравить

• Иррациональный поворот минимален.
• Сдвиг на постоянный вектор на торе ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$$\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$  минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$ .
• Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
• Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

ЛитератураПравить

Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 42. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.