Инвариантная мера

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей.

ОпределениеПравить

В теории динамических систем, мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на пространстве $(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$(X,\Sigma)$  называется инвариантной для измеримого отображения $f:(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})\to <!--\; \to \; -->(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$f:(X,\Sigma)\to (X,\Sigma)$ , если она совпадает со своим образом $f_{\ast <!--\; \ast \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$f_* \mu$ . В силу определения, это означает, что

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(f^{-<!--\; -\; -->1}(A)).(\ast <!--\; \ast \; -->)$$\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f^{-1}(A)). \qquad(*)$ 

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$  также измеримо в смысле $(X,\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->})$$(X,\Sigma)$ , то эквивалентным является определение

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(f(A)).$$\forall A\in \Sigma \quad \mu(A)=\mu(f(A)).$ 

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности $S^1$$S^{1}$  инвариантна относительно отображения удвоения $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->2x\mathrm{mod}1$$x\mapsto 2x \mod 1$ , однако мера дуги $[0,1/3]$$[0,1/3]$  отлична от меры её образа $[0,2/3]$$[0,2/3]$ .

ПримерыПравить

• Отображение $x_{n+1}=2x_{n}mod1\equiv <!--\; \equiv \; -->f(x_n)$$x_{n+1}=2x_{n}{\bmod {1}}\equiv f(x_{n})$ . Уравнение Перрона — Фробениуса для него имеет вид $p(x)=\frac{1}{2}\left[p\left(\frac{x}{2}\right)+p\left(\frac{x+1}{2}\right)\right]$$p(x)={\frac {1}{2}}\left[p\left({\frac {x}{2}}\right)+p\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right]$ . Подставляя это выражение в его же правую часть, получаем: $p(x)=\frac{1}{4}\left[p\left(\frac{x}{4}\right)+p\left(\frac{x+1}{4}\right)+p\left(\frac{x+2}{4}\right)+p\left(\frac{x+3}{4}\right)\right]$$p(x)={\frac {1}{4}}\left[p\left({\frac {x}{4}}\right)+p\left({\frac {x+1}{4}}\right)+p\left({\frac {x+2}{4}}\right)+p\left({\frac {x+3}{4}}\right)\right]$ . Повторяя эту подстановку $n$$n$  раз, получаем: $p(x)=\frac{1}{2^n}\underset{i=0}{\overset{2^n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}p\left(\frac{x+i}{2^n}\right)\stackrel{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\to }{\int <!--\; \int \; -->}_0^{1}p(x)dx=1$$p(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}p\left({\frac {x+i}{2^{n}}}\right)\xrightarrow {n\to \infty } \int _{0}^{1}p(x)\,dx=1$ . Эта мера устойчива, то есть произвольная непрерывная мера будет сходится к ней.
• Отображение $x_{n+1}=1-<!--\; -\; -->2|x_n|,x\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->1,1]$$x_{n+1}=1-2|x_{n}|,x\in [-1,1]$  или $x_{n+1}=1-<!--\; -\; -->2|2x_n-<!--\; -\; -->1|$$x_{n+1}=1-2|2x_{n}-1|$ , $x\in <!--\; \in \; -->[0,1](1)$$x\in [0,1](1)$ . Существование устойчивой непрерывной инвариантной меры с $p(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$p(x)=\mathrm {const}$  доказывается аналогично.
• Логистическое отображение $x_{n+1}=1-<!--\; -\; -->2x_n^2$$x_{n+1}=1-2x_{n}^{2}$ , $x\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->1,1]$$x\in [-1,1]$ . Производим замену $x=-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$x=-\cos \pi \theta$ , $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0,1]$$\theta \in [0,1]$ , получаем $-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_{n+1}=1-<!--\; -\; -->2(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n{)}^2=-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_n$$-\cos \pi \theta _{n+1}=1-2(\cos \pi \theta _{n})^{2}=-\cos 2\pi \theta _{n}$ , $\theta _{n+1}={\begin{cases}2\theta _{n},&\theta _{n}\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2\theta _{n},&\theta _{n}>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$ , что можно преобразовать к виду (1). Следовательно, для $\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$$\theta$  существует непрерывная постоянная плотность вероятности $p(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=1$$p(\theta )=1$ . Плотность вероятности для $x$$x$  следует из неё: $p(x)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2}}$$p(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}$ .

ЛитератураПравить

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.

См. такжеПравить

• Теорема Крылова — Боголюбова
• Теорема Биркгофа — Хинчина