RS-анализ

RS-анализ — совокупность статистических приёмов и методов анализа временных рядов (преимущественно финансовых), позволяющих определить некоторые важные их характеристики, такие как наличие непериодических циклов, памяти и т. п.

МетодологияПравить

Пусть имеется последовательность $S=(S_t{)}_{t\ge <!--\; \ge \; -->0}$$S=(S_{t})_{t\geq 0}$  котировок некоторой ценной бумаги (в общем случае — временной ряд). Образуем из данного ряда последовательность $h=(h_t{)}_{t\ge <!--\; \ge \; -->1}$$h=(h_{t})_{t\geq 1}$ , где $h_t=\ln <!--\; \; -->\left(\frac{S_t}{S_{t-<!--\; -\; -->1}}\right)$$h_{t}=\ln \left({\frac {S_{t}}{S_{t-1}}}\right)$  — логарифмическая доходность в момент времени $t$$t$ .

Для каждого натурального n составим величины $H_n=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{h}_k$$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}h_{k}$  и вычислим следующие числовые характеристики получившейся подпоследовательности.

Пусть ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{h}}_n=\frac{H_n}{n}$${\overline {h}}_{n}={\frac {H_{n}}{n}}$  — среднее арифметическое элементов подпоследовательности $h=(h_t{)}_{t=1}^n$$h=(h_{t})_{t=1}^{n}$ 

1. Размах накопленных сумм $R_n=\underset{k=1,...,n}{max}\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(h_i-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{h}}_n\right)\right)-<!--\; -\; -->\underset{k=1,...,n}{min}\left(\underset{i=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(h_i-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{h}}_n\right)\right)$$R_{n}={\underset {k=1,...,n}{\max }}\left(\sum _{i=1}^{k}\left(h_{i}-{\overline {h}}_{n}\right)\right)-{\underset {k=1,...,n}{\min }}\left(\sum _{i=1}^{k}\left(h_{i}-{\overline {h}}_{n}\right)\right)$ ;
2. Среднеквадратичное отклонение $S_n:S_n^2=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(h_i-<!--\; -\; -->{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{h}}_n\right)}^2$$S_{n}:S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}-{\overline {h}}_{n}\right)^{2}$ ;
3. Нормированный размах накопленных сумм (англ. the adjusted range of cumulative sums) $R{S}_n=\frac{R_n}{S_n}$$RS_{n}={\frac {R_{n}}{S_{n}}}$ 

Вычисляя в соответствии с вышеприведённым алгоритмом значения $R{S}_n$$RS_{n}$ , образуем из них и соответствующих значений количества элементов $n$$n$  последовательность точек на плоскости $\left(x_n,y_n\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->{\left(\ln <!--\; \; -->n,\ln <!--\; \; -->R{S}_n\right)}_{n=1}^N$$\left(x_{n},y_{n}\right)\equiv \left(\ln n,\ln RS_{n}\right)_{n=1}^{N}$ . Осталось применить метод наименьших квадратов (МНК) для определения углового коэффициента прямой, проходящей максимально близко к полученным точкам.

По известной МНК-формуле, полагая $c_1=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}^2,c_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x;g_1=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}xy;g_2=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}y,$$c_{1}=\sum _{i=1}^{N}x^{2}\ ,\ c_{2}=\sum _{i=1}^{N}x\ ;\ g_{1}=\sum _{i=1}^{N}xy\ ;\ g_{2}=\sum _{i=1}^{N}y\ ,\ \ \$  находим коэффициент Хёрста

$\mathbb{H}=\frac{N{g}_1-<!--\; -\; -->c_2{g}_2}{N{c}_1-<!--\; -\; -->c_2^2}$$\mathbb {H} ={\frac {Ng_{1}-c_{2}g_{2}}{Nc_{1}-c_{2}^{2}}}$ 

ЗамечанияПравить

1. Знание коэффициента Хёрста $\mathbb{H}$$\mathbb {H}$  временного ряда позволяет элементарно, в обход рутинной процедуры вычисления предела, получить такой нетривиальный показатель, как размерность Минковского временного ряда $d$$d$  по формуле $d=2-<!--\; -\; -->\mathbb{H}.$$d=2-\mathbb {H} .$ 
2. Коэффициент Хёрста $\mathbb{H}>0.5$$\mathbb {H} >0.5$  соответствует фрактальному броуновскому движению с положительной корреляцией (долгой памятью), $\mathbb{H}=0.5$$\mathbb {H} =0.5$  — обычному белому гауссовскому шуму $\mathcal{f}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t,t\ge <!--\; \ge \; -->0:{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_t\sim <!--\; \sim \; -->iidN(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})\mathcal{g}$${\mathcal {f}}\varepsilon _{t},t\geq 0:\varepsilon _{t}\sim iid\ N(\mu ,\sigma ){\mathcal {g}}$ 

ЛитератураПравить

• Голубев С.Н. R/S - анализ стабильности запаздывающего временного ряда (недоступная ссылка) // Лабораторный журнал: электрон. научн.-практич. журн. 2013. N 1(1). ISSN 2307-8561
• Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. — М.: Интернет-трейдинг, 2004. — 304 с. — ISBN 5-902360-03-X.
• Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. — М.: Мир, 2000. — 333 с. — ISBN 5-03-003356-4.
• Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: Фазис, 1998. — Т. 1. — 512 с. — ISBN 5-7036-0043-X.