Размерность Минковского

Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

$\underset{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->(N_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}})}{-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}$$\lim \limits _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{-\ln(\varepsilon )}}$,

где $N_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$N_\varepsilon$ — минимальное число множеств диаметра $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

ПримерыПравить

• размерность конечного множества равна нулю, так как для него $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)$$\rho (n)$  не превосходит количества элементов в нём.
• размерность отрезка равна 1, так как необходимо $\lceil <!--\; \lceil \; -->a/\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\rceil <!--\; \rceil \; -->$$\lceil a/\epsilon \rceil$  отрезков длины $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$\epsilon$ , чтобы покрыть отрезок длины $a$$a$ . Таким образом,

  $\underset{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->(N_{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}})}{-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})}=\underset{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->a-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}{-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}=1$$\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac {\ln a-\ln \epsilon }{-\ln \epsilon }}=1$ ,

• размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю $1/n$$1/n$ , необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной $a$$a$ , ведет себя примерно как $a^2{n}^2$$a^{2}n^{2}$ .
• размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна $\ln <!--\; \; -->4/\ln <!--\; \; -->3$$\ln 4/\ln 3$ .

Более подробно

Неформальное рассуждение, показывающее это, таково. Отрезок можно разбить на 2 части, подобные исходному отрезку с коэффициентом 1/2. Чтобы покрыть отрезок множествами диаметра $1/n$$1/n$ , нужно покрыть каждую из половин такими множествами. Но для половины их нужно столько же, сколько для всего отрезка множеств диаметра $2/n$$2/n$ . Поэтому для отрезка имеем $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)\approx <!--\; \approx \; -->2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n/2)$$\rho (n)\approx 2\rho (n/2)$ . То есть, при увеличении $n$$n$  в два раза $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)$$\rho (n)$  увеличивается тоже в два раза. Иными словами, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)$$\rho (n)$  — линейная функция.

Для квадрата аналогичное рассуждение дает $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)\approx <!--\; \approx \; -->4\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n/2)$$\rho (n)\approx 4\rho (n/2)$ . То есть, при увеличении $n$$n$  в два раза $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)$$\rho (n)$  увеличивается в 4 раза. Иными словами, $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)$$\rho (n)$  — квадратичная функция.

Наконец, кривая Коха состоит из 4 частей, каждая из которых подобна исходной кривой с коэффициентом 1/3. Поэтому для неё $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n)\approx <!--\; \approx \; -->4\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(n/3)$$\rho (n)\approx 4\rho (n/3)$ . Подставляя $n=3^k$$n=3^{k}$ , получаем $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(3^k)\approx <!--\; \approx \; -->4\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(3^{k-<!--\; -\; -->1})\approx <!--\; \approx \; -->4^2\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(3^{k-<!--\; -\; -->2})\approx <!--\; \approx \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\approx <!--\; \approx \; -->4^k\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(1)=4^{{\log }_3<!--\; \; -->n}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(1)=n^{\ln <!--\; \; -->4/\ln <!--\; \; -->3}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}(1)$$\rho (3^{k})\approx 4\rho (3^{{k-1}})\approx 4^{2}\rho (3^{{k-2}})\approx \dots \approx 4^{k}\rho (1)=4^{{\log _{3}n}}\rho (1)=n^{{\ln 4/\ln 3}}\rho (1)$ . Отсюда следует, что размерность равна $\ln <!--\; \; -->4/\ln <!--\; \; -->3$$\ln 4/\ln 3$ .

Формально: пусть n - шаг фрактала, на n-ом шаге у нас будет $4^n$$4^{{n}}$  равных отрезков, длиной $3^{-<!--\; -\; -->n}$$3^{{-n}}$ . Возьмём за ε отрезок длиной $3^{-<!--\; -\; -->n}$$3^{{-n}}$ , тогда чтобы покрыть всю кривую Коха, нам понадобится $4^n$$4^{{n}}$  отрезков. Для того, чтобы выполнялось условие ε→0, устремим n→$\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$ . Получим

  $\underset{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->(N_{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}})}{-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{\ln <!--\; \; -->(4^n)}{-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->(3^{-<!--\; -\; -->n})}=\frac{\ln <!--\; \; -->4}{\ln <!--\; \; -->3}$$\lim \limits _{{\epsilon \to 0}}{\frac  {\ln(N_{\epsilon })}{-\ln(\epsilon )}}=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac  {\ln(4^{{n}})}{-\ln(3^{{-n}})}}={\frac  {\ln 4}{\ln 3}}$ 

• размерность Минковского множества $\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots <!--\; \dots \; -->\}$$\{0,1,{\frac 12},{\frac 13},{\frac 14},\dots \}$  равна 1/2.

СвойстваПравить

• Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
• Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
• Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. такжеПравить

• Размерность Хаусдорфа
• Фрактал
• Эпсилон-энтропия

ЛитератураПравить

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000