Показатель Хёрста

Показатель степени Хёрста, показатель Хёрста или коэффициент Хёрста — мера, используемая в анализе временных рядов. Эта величина уменьшается, когда задержка между двумя одинаковыми парами значений во временном ряду увеличивается. Впервые это понятие использовалось в гидрологии в практических целях для определения размеров плотины на реке Нил в условиях непредсказуемых дождей и засух, наблюдаемых в течение длительного времени. Название «Экспонента Херста» или «Коэффициент Херста» дано в честь Гарольда Эдвина Хёрста  (англ.) (рус. (1880—1978) — ведущего исследователя того времени в этой области. Стандартное обозначение H также дано в честь него.

ОпределениеПравить

Показатель Херста, H, определяется в терминах асимптотического поведения масштабированного диапазона как функции отрезка времени временного ряда следующим образом:

$\mathrm{E}<!--\; \; -->\left[\frac{R(n)}{S(n)}\right]=C{n}^H,n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},$$\operatorname {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H},n\to \infty \,,$ 

где

• $R(n)$$R(n)$  — размах накопленных отклонений первых $n$$n$  значений от среднего значения ряда,
• $S(n)$$S(n)$  — стандартное отклонение
• $\mathrm{E}<!--\; \; -->\left[x\right]$$\operatorname {E} \left[x\right]$  — математическое ожидание
• $n$$n$  — величина промежутка времени (количество точек в отрезке временного ряда)
• $C$$C$  — константа

СвойстваПравить

Для того, чтобы точнее определить показатель, временной ряд должен быть достаточно длинным.

Последовательности, для которых $H>0,5$$H>0{,}5$ , считаются персистентными — они сохраняют имеющуюся тенденцию, то есть возрастание в прошлом более вероятно приводит к возрастанию в дальнейшем, и наоборот. При значении 0,5 явной тенденции не выражено, а при меньших значениях процесс характеризуется антиперсистентностью — любая тенденция стремится смениться противоположной.

Значения показателя Хёрста природных процессов группируются вблизи значений 0,72-0,73.

Показатель Хёрста связан с размерностью Хаусдорфа-Безиковича $D$$D$  следующим соотношением:

$D=2-<!--\; -\; -->H$$D=2-H$ .

ПрименениеПравить

Показатель Хёрста применяется в экономике — в техническом анализе для обоснования предсказания тенденций (в приведенной выше функции исходным рядом будет являться приращение цены), в естественных науках — в анализе различных данных экспериментов — для выявления новых характеристик процесса.

РеализацияПравить

• На Matlab: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• На Python: http://github.com/Mottl/hurst