Ряд из натуральных чисел

Ряд из натуральных чисел — числовой ряд, члены которого являются последовательными натуральными числами: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $1+2+3+4+\ldots$ $1+2+3+4+\ldots$ ; при этом $\text{[math]}$ n-я частичная сумма ряда является треугольным числом:

Первые четыре частичные суммы натурального ряда. Изображённая парабола является сглаживающей асимптотой данных сумм и пересекает ось ординат на отметке −1/12

\text{[math]}

\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},

\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},

которое неограниченно растёт при стремлении $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n$ $n$ к бесконечности. Из-за того, что последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, ряд расходится.

Несмотря на расходимость в традиционном смысле, некоторые обобщённые операции над натуральным рядом позволяют получить выводы, находящие применение в комплексном анализе, квантовой теории поля^{[источник не указан 1641 день]} и теории струн^[1].

Сумма в обобщённом смыслеПравить

Специальные методы суммирования, использующиеся в некоторых разделах математики, позволяют присвоить конечные значения расходящимся числовым рядам. В частности, один из таких способов предоставляет метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана и суммирование по методу Рамануджана ( Ramanujan summation — версия статьи «Суммирование по методу Рамануджана» на английском языке англ.), позволяют сопоставить данному ряду некое конечное значение^[2]:

\text{[math]}

1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},

в обобщённом смысле суммы.

Частичные суммыПравить

Первые шесть треугольных чисел

Частичными суммами натурального ряда являются 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Таким образом, $\text{[math]}$ n-я частичная сумма выражается формулой

\text{[math]}

\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.

Это выражение было известно ещё Пифагору в VI веке до нашей эры^[3]. Числа такого вида называются треугольными, так как они могут быть представлены в виде треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел стремится к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $+\infty$ и, следовательно, бесконечная сумма натурального ряда также стремится к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $+\infty$ . Такой результат является следствием невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда.

СуммируемостьПравить

В сравнении с другими классическими расходящимися рядами, натуральному ряду сложнее приписать имеющее смысл некоторое конечное числовое значение. Существует множество методов суммирования, некоторые из которых являются более устойчивыми и мощными. Так, например, суммирование по Чезаро является широко известным методом, который суммирует умеренно расходящийся ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + … и приписывает ему конечное значение 1/2. Суммирование методом Абеля представляет собой более мощный метод, который, кроме ряда Гранди, позволяет также суммировать более сложный знакочередующийся ряд натуральных чисел и присвоить ему значение 1/4.

В отличие от упомянутых выше рядов, как суммирование по Чезаро, так и метод Абеля неприменимы к натуральному ряду. Эти методы работают только со сходящимися и гармоническими рядами и не могут быть использованы для ряда, частичные суммы которого стремятся к $\text{[math]}$ +∞^[4]. Большинство элементарных определений суммы расходящегося ряда являются линейными и устойчивыми, а любой линейный и устойчивый метод не может присвоить натуральному ряду конечное значение. Следовательно, требуются более развитые методы, такие как регуляризация дзета-функцией или суммирование Рамануджана.

Эвристические предпосылкиПравить

Отрывок из первой заметки Рамануджана, описывающей конечное значение ряда

В главе 8 первого сборника своих трудов Рамануджан показал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», используя два способа^[5]^[6]^[7]. Ниже излагается более простой метод, состоящий из двух этапов.

Первое ключевое наблюдение состоит в том, что ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … похож на знакочередующийся ряд натуральных чисел 1 − 2 + 3 − 4 + …. Несмотря на то, что этот ряд также является расходящимся, с ним намного проще работать. Существует несколько классических способов присвоить конечное значение этому ряду, известных ещё с XVIII века.^[8]

Для того, чтобы привести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … к виду 1 − 2 + 3 − 4 + …, мы можем вычесть 4 из второго члена, 8 из четвёртого члена, 12 из шестого и т. д. Общая величина, которую нужно вычесть, выражается рядом 4 + 8 + 12 + 16 + …, который получается умножением исходного ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Данные выражения можно записать в алгебраической форме. Что бы из себя ни представляла «сумма», введём для неё обозначение $\text{[math]}$ c = 1 + 2 + 3 + 4 + …, умножим полученное уравнение на 4 и вычтем второе из первого:

\text{[math]}

{\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots ,\\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots ,\\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots .\end{alignedat}}

Второе ключевое наблюдение заключается в том, что ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … является разложением в степенной ряд функции 1/(1 + $\text{[math]}$ x)² при $\text{[math]}$ x, равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:

\text{[math]}

-3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.

Поделив обе части на −3, получаем $\text{[math]}$ c = −1/12.

Строго говоря, существует неоднозначность при работе с бесконечными рядами в случае использования методов, предназначенных для конечных сумм (наподобие тех методов, что были использованы выше), в особенности если эти бесконечные ряды расходятся. Неоднозначность заключается в том, что если вставить ноль в любое место в расходящемся ряде, существует вероятность получить противоречивый результат. Например, действие 4 $\text{[math]}$ c = 0 + 4 + 0 + 8 + … противоречит свойствам сложения.

Одним из способов обойти данную неопределённость и тем самым ограничить позиции, куда можно вставить ноль, является присвоение каждому члену ряда значения некоторой функции.^[9] Для ряда 1 + 2 + 3 + 4 + …, каждый член $\text{[math]}$ n представляет собой натуральное число, которое может быть представлено в виде функции $\text{[math]}$ n^−s, где $\text{[math]}$ s — некоторая комплексная переменная. Используя данное представление, можно гарантировать, что все члены ряда последовательны. Таким образом, присвоив $\text{[math]}$ s значение −1, можно выразить рассматриваемый ряд в строгом виде. Реализация данного способа носит название регуляризации дзета-функцией.

Регуляризация дзета-функциейПравить

График функции ζ(s). Для s > 1, ряд сходится и ζ(s) > 1. Аналитическое продолжение в окрестности s = 1 приводит к отрицательным значениям, в частности ζ(−1) = −1/12

В данном методе, ряд $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum _{n=1}^{\infty }n$ заменяется рядом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}$ . Последний ряд является частным случаем ряда Дирихле. Если действительная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится, и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ(s). С другой стороны, если действительная часть s меньше или равна 1, ряд Дирихле расходится. В частности, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ..., который получается подстановкой s = −1, не является сходящимся. Преимущества перехода к дзета-функции Римана заключается в том, что, используя метод аналитического продолжения, она может быть определена для s ⩽ 1. Следовательно, мы можем получить значение регуляризованной дзета-функции ζ(−1) = −1/12.

Существует несколько способов доказать, что ζ(−1) = −1/12. Один из методов^[10] использует связь между дзета-функцией Римана и эта-функцей Дирихле ( Dirichlet eta function — версия статьи «Эта-функцей Дирихле» на английском языке англ.) η(s). Эта-функция выражается знакопеременным рядом Дирихле, согласуясь тем самым с ранее представленными эвристическими предпосылками. Тогда как оба ряда Дирихле сходятся, следующие тождества верны:

\text{[math]}

{\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,&\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots ,&\\(1-2^{1-s})\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}

Тождество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ остаётся справедливым если мы продолжим обе функции аналитически в область значений s, где вышезаписанные ряды расходятся. Подставляя s = −1, получим −3ζ(−1) = η(−1). Отметим, что вычисление η(−1) является более простой задачей, так как значение эта-функции выражается значением суммы Абеля соответствующего ряда^[11] и представляет собой односторонний предел:

\text{[math]}

-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots )=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.

Поделив обе части выражения на −3, получаем ζ(−1) = −1/12.

Суммирование методом РамануджанаПравить

Суммирование ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... методом Рамануджана также позволяет получить значение −1/12. В своём втором письме к Х. Г. Харди, датированном 27 Февраля 1913, Рамануджан пишет^[12]:

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12. Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме.

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f, классическая сумма Рамануджана для ряда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum _{k=0}^{\infty }f(k)$ определена как

\text{[math]}

c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),

где f^(2k−1) представляет собой (2k−1)-ю производную функции f и B_2k является 2k-м числом Бернулли: B₂ = 1/6, B₄ = −1/30 и т. д. Принимая f(x) = x, первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:^[13]

\text{[math]}

c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.

Для избежания противоречий современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Рамануджан неявно подразумевал это свойство.^[13] Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + ... потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризации дзета-функцией.

Несостоятельность устойчивых линейных методов суммированияПравить

Линейный и устойчивый метод суммирования не в состоянии присвоить конечное значение ряду 1 + 2 + 3 + ... (Устойчивый означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму ряда на величину данного члена.) Данное утверждение может быть продемонстрировано следующим образом. Если

1 + 2 + 3 + … = x,

тогда, добавляя 0 к обеим частям, получаем

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x,

исходя из свойства устойчивости. Вычитая нижний ряд из верхнего, получаем

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

исходя из свойства линейности. Добавляя 0 к обеим частям повторно, получаем

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

и вычитая два последних ряда, приходим к

1 + 0 + 0 + … = 0,

что противоречит свойству устойчивости.

Методы, использованные выше, для суммирования 1 + 2 + 3 + … являются либо только устойчивыми, либо только линейными. Например, существует два разных метода, называемых регуляризацией дзета-функцией. Первый является устойчивым, но нелинейным и определяет сумму a + b + c + … множества чисел как значение аналитического продолжения выражения 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + при s = −1. Второй метод линейный, но неустойчивый и определяет сумму последовательности чисел как значение аналитического продолжения выражения a/1^s + b/2^s + c/3^s при s = 0. Оба метода присваивают ряду 1 + 2 + 3 + … значение суммы ζ(−1) = −1/12.

Применение в физикеПравить

Значение −1/12 встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень^[1].

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ... также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве.^[14] Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальные^{[уточнить]} аналитические ряды Эйзенштейна.^[15]

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Polchinski, Joseph. String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String (англ.). — Cambridge University Press, 1998. — P. 22. — 426 p. — ISBN 0-521-63303-6.
↑ Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra, ed., Vertex operator algebras and the zeta function, vol. 248, Contemporary Mathematics, с. 327–340
↑ Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken et al, ed., The bridge between the continuous and the discrete via original sources, National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, с. 3
↑ Hardy p. 10.
↑ Ramanujan's Notebooks, <http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NoteBooks/NoteBook1/chapterVIII/page3.htm>. Проверено 26 января 2014. Архивная копия от 18 марта 2014 на Wayback Machine
↑ Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, с. 41
↑ Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 135–136
↑ Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series (неопр.). The Euler Archive (2006). Дата обращения: 22 марта 2007. Архивировано 11 сентября 2015 года. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (фр.) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin : magazine. — 1768. — Vol. 17. — P. 83—106.
↑ Присвоение номеров функциям идентифицируется как один из двух широких классов методов суммирования, включая суммирование Абеля и суммирование Бореля: Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series (англ.). — Dover, 1990. — P. 475—476. — ISBN 0-486-66165-2.
↑ Stopple, Jeffrey (2003), A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann, с. 202, ISBN 0-521-81309-3
↑ Knopp, Konrad (англ.) (рус.. Theory and Application of Infinite Series (англ.). — Dover, 1990. — P. 490—492. — ISBN 0-486-66165-2.
↑ Berndt et al. p. 53 Архивная копия от 5 марта 2022 на Wayback Machine.
↑ ¹ ² Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 13, 134 .
↑ Zee, p. 65–67.
↑ Zeidler, Eberhard (2007), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, с. 305–306, ISBN 9783540347644, <https://books.google.com/books?id=XYtnGl9enNgC&pg=PA305> Архивная копия от 5 марта 2022 на Wayback Machine.

Список литературыПравить

Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary (неопр.). — American Mathematical Society, 1995. — ISBN 0-8218-0287-9.
Hardy, G. H. Divergent Series (англ.). — Oxford University Press, 1949.
Zee, A. Quantum field theory in a nutshell (неопр.). — Princeton UP, 2003. — ISBN 0-691-01019-6.

СсылкиПравить

This Week’s Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
- Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 — By John Baez
- John Baez. My Favorite Numbers: 24 (неопр.) (19 сентября 2008).
The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl
ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = −1/12 Numberphile video with over a million views
- Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) includes demonstration of Euler’s method.
- What do we get if we sum all the natural numbers? response to comments about video by Tony Padilla
- Related article from New York TImes
Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 by Brydon Cais from University of Arizona

[String_Theory_Vol._I:_An_Introduction_to_the_Bosonic_String-1] ¹ ² Polchinski, Joseph. String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String (англ.). — Cambridge University Press, 1998. — P. 22. — 426 p. — ISBN 0-521-63303-6.

[2] Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra, ed., Vertex operator algebras and the zeta function, vol. 248, Contemporary Mathematics, с. 327–340

[3] Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken et al, ed., The bridge between the continuous and the discrete via original sources, National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, с. 3

[4] Hardy p. 10.

[5] Ramanujan's Notebooks, <http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NoteBooks/NoteBook1/chapterVIII/page3.htm>. Проверено 26 января 2014. Архивная копия от 18 марта 2014 на Wayback Machine

[6] Abdi, Wazir Hasan (1992), Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, с. 41

[7] Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 135–136

[8] Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series (неопр.). The Euler Archive (2006). Дата обращения: 22 марта 2007. Архивировано 11 сентября 2015 года. Originally published as Euler, Leonhard. Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques (фр.) // Memoires de l'academie des sciences de Berlin : magazine. — 1768. — Vol. 17. — P. 83—106.

[9] Присвоение номеров функциям идентифицируется как один из двух широких классов методов суммирования, включая суммирование Абеля и суммирование Бореля: Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series (англ.). — Dover, 1990. — P. 475—476. — ISBN 0-486-66165-2.

[10] Stopple, Jeffrey (2003), A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann, с. 202, ISBN 0-521-81309-3

[11] Knopp, Konrad (англ.) (рус.. Theory and Application of Infinite Series (англ.). — Dover, 1990. — P. 490—492. — ISBN 0-486-66165-2.

[12] Berndt et al. p. 53 Архивная копия от 5 марта 2022 на Wayback Machine.

[autogenerated1-13] ¹ ² Berndt, Bruce C. (1985), Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, с. 13, 134 .

[14] Zee, p. 65–67.

[15] Zeidler, Eberhard (2007), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, с. 305–306, ISBN 9783540347644, <https://books.google.com/books?id=XYtnGl9enNgC&pg=PA305> Архивная копия от 5 марта 2022 на Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]