Сходимость по Пуассону — Абелю

Сходимость по Пуассону — Абелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное Пуассоном и Абелем.

ОпределениеПравить

Пусть $A$$A$  обозначает числовой ряд $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$  Ряд $A$$A$  называется сходящимся по Пуассону — Абелю, если существует предел:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->0}{lim}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{x}^k=s_p(A)$$\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)$ 

ПримерПравить

Рассмотрим ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}$$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}$ . Этот ряд сходится по Пуассону — Абелю: $\underset{x\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->0}{lim}(1-<!--\; -\; -->x+x^2-<!--\; -\; -->...)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->0}{lim}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2}$$\lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}$ 

СвойстваПравить

• Если $A$$A$  — сходящийся ряд, то он сходится по Пуассону — Абелю и $s_p(A)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k$$s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ .
• Если ряды $A$$A$  и $B$$B$  сходятся по Пуассону — Абелю, то и их произведение $C$$C$  сходится по Пуассону — Абелю и $s_p(A)s_p(B)=s_p(C)$$s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)$ .

См. такжеПравить

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Эйлеру

ЛитератураПравить

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.