Формула Эйлера — Маклорена

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу  (англ.) (рус.). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

ФормулаПравить

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

$\sum \limits _{a\leqslant k<b}f(k)=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{a}^{b}+R_{m},$ 

где

$R_m=(-<!--\; -\; -->1{)}^{m+1}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{B_m(\{x\})}{m!}{f}^{(m)}(x)dx,$$R_{m}=(-1)^{m+1}\int \limits _{a}^{b}{\frac {B_{m}(\{x\})}{m!}}f^{(m)}(x)dx,$ 

здесь $a⩽<!--\; ⩽\; -->b,m$$a\leqslant b,m$  — натуральное, $B_k$$B_{k}$  — числа Бернулли, $f(x)$$f(x)$  — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные $f^{\prime }(x),\dots <!--\; \dots \; -->,f^{(m)}(x)$$f'(x),\ldots ,f^{(m)}(x)$ , $B_m(t)$$B_{m}(t)$  — многочлен Бернулли, $\{x\}$$\{x\}$  — дробная часть x. В случае, когда $R_m$$R_m$  мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли $B_n(x),n=0,1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$B_{n}(x),n=0,1,2,\ldots$  определяются рекуррентно как

$B_0(x)=1,$$B_{0}(x)=1,$ 

$B_n^{\prime }(x)=n{B}_{n-<!--\; -\; -->1}(x),\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{B}_n(x)dx=0,n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}.$$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),\ \int \limits _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0,n\in \mathbb {N} .$ 

Выражение $B_n(\{x\})=P_n(x)$$B_{n}(\{x\})=P_{n}(x)$  называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный членПравить

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах $P_n(x)$$P_n(x)$ :

$R=-<!--\; -\; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{(2p)}(x)\frac{P_{2p}(x)}{(2p)!}dx,$$R=-\int \limits _{a}^{b}f^{(2p)}(x){\frac {P_{2p}(x)}{(2p)!}}dx,$ 

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что $f^{(2p)}$$f^{(2p)}$  дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

$R=\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^{(2p+1)}(x)\frac{P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}dx.$$R=\int \limits _{a}^{b}f^{(2p+1)}(x){\frac {P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}}dx.$ 

где $n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$n \geqslant 0$ . Можно показать, что

$\left|B_n(x)\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{2n!}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^n}\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(n),$$\left|B_{n}(x)\right|\leqslant {\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}\zeta (n),$ 

где $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}$$\zeta$  обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и $x=0$$x=0$ . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

$\left|R\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{2\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(2p)}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^{2p}}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\left|f^{(2p)}(x)\right|dx$$\left|R\right|\leqslant {\frac {2\zeta (2p)}{(2\pi )^{2p}}}\int \limits _{a}^{b}\left|f^{(2p)}(x)\right|dx$ 

ДоказательствоПравить

Операторные соображенияПравить

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  — разностный оператор, $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$  — оператор суммирования, $D$$D$  — оператор дифференцирования, $\int <!--\; \int \; -->$$\int$  — оператор интегрирования. Тогда оператор $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  обратен к $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$$\Sigma$ , а $D$$D$  обратен к $\int <!--\; \int \; -->$$\int$ . Можно выразить $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$$\Delta$  через $D$$D$  с помощью формулы Тейлора:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f(x)=f(x+1)-<!--\; -\; -->f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{1!}+\frac{f^{″}(x)}{2!}+\frac{f^{‴}(x)}{3!}+\dots <!--\; \dots \; -->=\left(\frac{D}{1!}+\frac{D^2}{2!}+\frac{D^3}{3!}+\dots <!--\; \dots \; -->\right)f(x)=(e^D-<!--\; -\; -->1)f(x),$$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)={\frac {f'(x)}{1!}}+{\frac {f''(x)}{2!}}+{\frac {f'''(x)}{3!}}+\ldots =\left({\frac {D}{1!}}+{\frac {D^{2}}{2!}}+{\frac {D^{3}}{3!}}+\ldots \right)f(x)=(e^{D}-1)f(x),$ 

т.е. $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=e^D-<!--\; -\; -->1$$\Delta =e^{D}-1$  и тогда $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}={\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{e^D-<!--\; -\; -->1}$$\Sigma =\Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}$ , а поскольку $\frac{z}{e^z-<!--\; -\; -->1}=\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->0}{\sum <!--\; \sum \; -->}{B}_k\frac{z^k}{k!}$${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum \limits _{k\geqslant 0}B_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}$ , то

$\sum <!--\; \sum \; -->=\frac{B_0}{D}+\frac{B_1}{1!}+\frac{B_2}{2!}D+\frac{B_3}{3!}{D}^2+\dots <!--\; \dots \; -->=\int <!--\; \int \; -->+\underset{k⩾<!--\; ⩾\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{B_k}{k!}{D}^{k-<!--\; -\; -->1}.$$\sum ={\frac {B_{0}}{D}}+{\frac {B_{1}}{1!}}+{\frac {B_{2}}{2!}}D+{\frac {B_{3}}{3!}}D^{2}+\ldots =\int +\sum \limits _{k\geqslant 1}{\frac {B_{k}}{k!}}D^{k-1}.$ 

Применяя это операторное соотношение к $f(x)$$f(x)$ , получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членомПравить

Достаточно доказать формулу при $a=0,b=1$$a=0,b=1$ , поскольку мы можем любой отрезок $[a;b]$$[a;b]$  с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в $[0;1]$$[0;1]$ . При $a=0,b=1$$a=0,b=1$  формула имеет вид

$f(0)=\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx+{\underset{k=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_k}{k!}{f}^{(k-<!--\; -\; -->1)}(x)|}_0^1+(-<!--\; -\; -->1{)}^{(m+1)}\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{B_m(x)}{m!}{f}^{(m)}(x)dx.$$f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+\left.\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right|_{0}^{1}+(-1)^{(m+1)}\int \limits _{0}^{1}{\frac {B_{m}(x)}{m!}}f^{(m)}(x)dx.$ 

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При $m=1,B_1(x)=x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$m=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}}$ . Интегрируя по частям, при $u(x)=f(x),v(x)=x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}$$u(x)=f(x),v(x)=x-{\frac {1}{2}}$ , мы получаем:

$f(0)=\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(f(1)-<!--\; -\; -->f(0))+\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}\left(x-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\right)f^{\prime }(x)dx.$$f(0)=\int \limits _{0}^{1}f(x)dx-{\frac {1}{2}}(f(1)-f(0))+\int \limits _{0}^{1}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)f'(x)dx.$ 

Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства $R_{m-<!--\; -\; -->1}={\frac{B_m}{m!}{f}^{(m-<!--\; -\; -->1)}(x)|}_0^1+R_m$$R_{m-1}=\left.{\frac {B_{m}}{m!}}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}+R_{m}$ , то есть нужно доказать, что

${(-<!--\; -\; -->1{)}^m{B}_m{f}^{(m-<!--\; -\; -->1)}(x)|}_0^1=m\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{B}_{m-<!--\; -\; -->1}(x)f^{(m-<!--\; -\; -->1)}(x)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{B}_m(x)f^{(m)}(x)dx.$$\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=m\int \limits _{0}^{1}B_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\int \limits _{0}^{1}B_{m}(x)f^{(m)}(x)dx.$ 

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при $u(x)=f^{(m-<!--\; -\; -->1)}(x),v(x)=B_m(x)$$u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_{m}(x)$ : $B_m^{\prime }(x)=m{B}_{m-<!--\; -\; -->1}(x)$$B_{m}'(x)=mB_{m-1}(x)$ , поэтому формула верна благодаря тому, что

${(-<!--\; -\; -->1{)}^m{B}_m{f}^{(m-<!--\; -\; -->1)}(x)|}_0^1={B_m(x)f^{(m-<!--\; -\; -->1)}(x)|}_0^1,$$\left.(-1)^{m}B_{m}f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1}=\left.B_{m}(x)f^{(m-1)}(x)\right|_{0}^{1},$ 

то есть $(-<!--\; -\; -->1{)}^m{B}_m=B_m(1)=B_m(0)$$(-1)^{m}B_{m}=B_{m}(1)=B_{m}(0)$ , а это верно, поскольку при нечётных m у нас $B_m=0,$$B_{m}=0,$ .

ПрименениеПравить

Сумма степенейПравить

Вычислим сумму степеней $\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}$ . Положим $f(x)=x^{m-<!--\; -\; -->1}$$f(x)=x^{m-1}$ , тогда $f^{(m)}(x)=0$$f^{(m)}(x)=0$  и $R_m=0$$R_{m}=0$ , вычисляя интегралы, получаем:

$\sum \limits _{a\leqslant k<b}k^{m-1}={\frac {1}{m}}\sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}B_{k}(b^{m-k}-a^{m-k}).$ 

Сумма обратных квадратовПравить

Основная статья: Ряд обратных квадратов

Вычислить сумму

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^2}.$$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.$ 

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна $\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{6}$${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ , что и было им доказано в том же году.

Численное интегрированиеПравить

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммыПравить

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

$\underset{n=a}{\overset{b}{\sum <!--\; \sum \; -->}}f(n)\sim <!--\; \sim \; -->\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\underset{k=1}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-<!--\; -\; -->1)}(b)-<!--\; -\; -->f^{(2k-<!--\; -\; -->1)}(a)\right),$$\sum \limits _{n=a}^{b}f(n)\sim \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),$ 

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов $a\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$a\to -\infty$  или $b\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$b\to +\infty$ , или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

$\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{(z+k{)}^2}\sim <!--\; \sim \; -->\underset{=1/z}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{1}{(z+k{)}^2}dk}}+\frac{1}{2z^2}+\underset{t=1}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.$$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}dk} _{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \limits _{t=1}^{+\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.$ 

Здесь левая часть равна ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{(1)}(z)$$\psi ^{(1)}(z)$ , называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{(1)}(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln <!--\; \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)$ ; гамма-функция $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$  равна $(z-<!--\; -\; -->1)!$$(z-1)!$ , если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение ${\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{(1)}(z)$$\psi ^{(1)}(z)$ . Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чиселПравить

Полагаем $f(x)=x^{-<!--\; -\; -->1}$$f(x)=x^{-1}$ , тогда $f^{(m)}(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{m}m!x^{-<!--\; -\; -->m-<!--\; -\; -->1}=O(x^{-<!--\; -\; -->m-<!--\; -\; -->1})$$f^{(m)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$  и тогда получаем

$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k}=\ln <!--\; \; -->n+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+\frac{1}{2n}-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},$$\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},$ 

где $0<\theta _{m,n}<1$ . Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ .

Аппроксимация Стирлинга для факториалаПравить

Полагаем $f(x)=\ln <!--\; \; -->x$$f(x)=\ln x$ , тогда $f^{\prime }(x)=x^{-<!--\; -\; -->1},f^{(m+1)}(x)=(-<!--\; -\; -->1{)}^{m}m!x^{-<!--\; -\; -->m-<!--\; -\; -->1}$$f'(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1)^{m}m!x^{-m-1}$  и тогда получаем

$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\ln <!--\; \; -->k=n\ln <!--\; \; -->n-<!--\; -\; -->n+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{\ln <!--\; \; -->n}{2}+\underset{k=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{B_{2k}}{2k(2k-<!--\; -\; -->1)n^{2k-<!--\; -\; -->1}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}},$$\sum \limits _{k=1}^{n}\ln k=n\ln n-n+\sigma -{\frac {\ln n}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}-\phi _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}}},$ 

где на самом деле $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\ln <!--\; \; -->\sqrt{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$$\sigma =\ln {\sqrt {2\pi }}$ . Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

ЛитератураПравить

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
• Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.