Необходимое условие сходимости рядов

Необходимое условие сходимости ряда (Необходимый признак сходимости ряда):

Для сходимости ряда $\sum <!--\; \sum \; -->a_k$$\sum a_{k}$ необходимо, чтобы последовательность $(a_k)$$(a_{k})$ была бесконечно малой.

ДоказательствоПравить

Пусть исходный ряд сходится (последовательность частичных сумм имеет конечный предел). По условию последовательности частичных сумм $(s_k)$$(s_{k})$  и $(s_{k+1})$$(s_{k+1})$  имеют общий конечный предел $s$$s$ , но $|a_{k+1}|=|s_{k+1}-<!--\; -\; -->s_k|$$|a_{k+1}|=|\,s_{k+1}-\,s_{k}|$ , а потому $|a_{k+1}|\to <!--\; \to \; -->0$$|a_{k+1}|\rightarrow 0$ , что равносильно бесконечной малости $(a_k)$$(a_{k})$ .

ЗамечаниеПравить

Данный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что $(a_k)\to <!--\; \to \; -->0$$(a_{k})\rightarrow 0$  не следует, что ряд сходится.

Так, гармонический ряд $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...$  расходится, хотя необходимое условие сходимости ряда для него выполняется.

ЛитератураПравить

• Богданов Ю. С. — Лекции по математическому анализу — Часть 2 — Минск: Издательство БГУ — 1978.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 800 с.