Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

ФормулаПравить

Пусть $a_n$$a_n$  — последовательность действительных или комплексных чисел и $f(x)$$f(x)$  — непрерывно дифференцируемая на луче $[1,x)$$[1,x)$  функция. Тогда

$\underset{1\le <!--\; \le \; -->n\le <!--\; \le \; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{n}f(n)=A(x)f(x)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_1^{x}A(u)f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}f(n)=A(x)f(x)-\int _{1}^{x}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u$ 

где

$A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.$ 

Доказательство

Представим обе части равенства как функции от $x$$x$ . Во-первых, заметим, что при $x=1$$x=1$  равенство верно (интеграл обращается в ноль). Во-вторых, при нецелых $x$$x$  обе части можно продифференцировать, получив верное равенство. Наконец, при целом $x$$x$  левая часть имеет скачок $a_{x}f(x)$$a_{x}f(x)$ , такой же скачок имеет функция $A(x)f(x)$$A(x)f(x)$ , а интеграл непрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формула доказана для всех $x\ge <!--\; \ge \; -->1$$x\geq 1$ .

Если частичные суммы ряда $a_n$$a_n$  ограничены, а $\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f(x)=0$$\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$ , то предельным переходом можно получить следующее равенство

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{n}f(n)=-<!--\; -\; -->\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}A(u)f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}f(n)=-\int \limits _{1}^{+\infty }A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u$ 

В общем случае,

$\sum _{x<n\leq y}a_{n}f(n)=A(y)f(y)-A(x)f(x)-\int _{x}^{y}A(u)f'(u)\,\mathrm {d} u\,.$ 

ПримерыПравить

Постоянная Эйлера — МаскерониПравить

Для $a_n=1$$a_{n}=1$  и $f(x)=\frac{1}{x},$$f(x)={\frac {1}{x}}\,,$  легко видеть, что $A(x)=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,$$A(x)=\lfloor x\rfloor ,$  тогда

$\underset{n=1}{\overset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n}=\frac{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{x}+{\int <!--\; \int \; -->}_1^x\frac{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->u\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{u^2}\mathrm{d}u=\frac{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{x}+\mathrm{l}\mathrm{n}(x)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_1^x\frac{\{u\}}{u^2}\mathrm{d}u$$\sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u$ 

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:

• $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1-<!--\; -\; -->\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{\{u\}}{u^2}du$$\gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du$ , где $\left\{t\right\}$$\left\{t\right\}$  — дробная часть числа $t$$t$ .

Представление дзета-функции РиманаПравить

Для $a_n=1$$a_{n}=1$  и $f(x)=\frac{1}{x^s},$$f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,$  аналогично $A(x)=\lfloor <!--\; \lfloor \; -->x\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,$$A(x)=\lfloor x\rfloor ,$  тогда

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^s}=s{\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->u\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{u^{1+s}}\mathrm{d}u=s\left({\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{u}{u^{1+s}}\mathrm{d}u-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u\right)=1+\frac{1}{s-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->s{\int <!--\; \int \; -->}_1^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$$\sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\right)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.$ 

Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области $\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}(s)>0,$$\Re (s)>0,$  поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что $\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)$$\zeta (s)$  имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.