Шестнадцатиячейник

Шестнадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,4}
Ячеек	16
Граней	32
Рёбер	24
Вершин	8
Вершинная фигура	Правильный октаэдр
Двойственный политоп	Тессеракт

Пра́вильный шестнадцатияче́йник, или просто шестнадцатияче́йник — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.

Проекция вращающегося шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство

Развёртка

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.

ОписаниеПравить

Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$120^{\circ }.$ 

Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.

Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных октаэдрических пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями, — либо как четырёхмерную дуопирамиду^[en], построенную на двух квадратах.

В координатахПравить

Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты $(\pm <!--\; \pm \; -->1;0;0;0),$$(\pm 1;0;0;0),$  $(0;\pm <!--\; \pm \; -->1;0;0),$$(0;\pm 1;0;0),$  $(0;0;\pm <!--\; \pm \; -->1;0),$$(0;0;\pm 1;0),$  $(0;0;0;\pm <!--\; \pm \; -->1).$$(0;0;0;\pm 1).$ 

При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.

Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.

Начало координат $(0;0;0;0)$$(0;0;0;0)$  будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек $(x;y;z;w),$$(x;y;z;w),$  чьи координаты удовлетворяют уравнению

$|x|+|y|+|z|+|w|=1,$$|x|+|y|+|z|+|w|=1,$ 

а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых

$|x|+|y|+|z|+|w|<1.$ 

Ортогональные проекции на плоскостьПравить

 

 

 

 

 

Метрические характеристикиПравить

Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины $a,$$a,$  то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_4=\frac{1}{6}{a}^4\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,166}6667a^4,$$V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},$ 

$S_3=\frac{4\sqrt{2}}{3}{a}^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,885}6181a^3.$$S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 1{,}8856181a^{3}.$ 

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

$R=\frac{\sqrt{2}}{2}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,707}1068a,$$R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,$ 

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=\frac{1}{2}a=\mathrm{0,500}0000a,$$\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,$ 

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2=\frac{\sqrt{6}}{6}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,408}2483a,$$\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,$ 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

$r=\frac{\sqrt{2}}{4}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,353}5534a.$$r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\approx 0{,}3535534a.$ 

Заполнение пространстваПравить

Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Шестнадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.