Октаэдрическая пирамида

Октаэдрическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной октаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Многогранная пирамида[en]
Символ Шлефли	( ) ∨ {3,4} ( ) ∨ r{3,3} ( ) ∨ s{2,6} ( ) ∨ [{4} + { }] ( ) ∨ [{ } + { } + { }]
Ячеек	9
Граней	20
Рёбер	18
Вершин	7
Двойственный политоп	Кубическая пирамида

Октаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): многогранная пирамида^[en], имеющая основанием октаэдр.

Ортогональная двумерная проекция равногранной октаэдрической пирамиды, вращающейся вокруг плоскости, проходящей через четыре ребра её основания

ОписаниеПравить

Ограничена 9 трёхмерными ячейками — 8 тетраэдрами и 1 октаэдром. Октаэдрическая ячейка окружена всеми восемью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена октаэдрической и тремя тетраэдрическими.

Её 20 двумерных граней — треугольники. 8 граней разделяют октаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 12 — две тетраэдрических.

Имеет 18 рёбер. На 12 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (октаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 6 — по четыре грани и по четыре ячейки (только тетраэдрические).

Имеет 7 вершин. В 6 вершинах сходятся по 5 рёбер, по 8 граней и по 5 ячеек (октаэдрическая и четыре тетраэдрических); в 1 вершине — 6 рёбер, 12 граней и все 8 тетраэдрических ячеек.

Равногранная октаэдрическая пирамидаПравить

Если все рёбра октаэдрической пирамиды имеют равную длину $a$$a$ , её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

$V_4=\frac{1}{12}{a}^4\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,083}3333a^4,$$V_{4}={\frac {1}{12}}\;a^{4}\approx 0{,}0833333a^{4},$ 

$S_3=\sqrt{2}{a}^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,414}2136a^3.$$S_{3}={\sqrt {2}}\;a^{3}\approx 1{,}4142136a^{3}.$ 

Высота пирамиды и радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будут равны

$H=R=\frac{\sqrt{2}}{2}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,707}1068a,$$H=R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,$ 

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_1=\frac{1}{2}a=\mathrm{0,500}0000a,$$\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,$ 

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_2=\frac{\sqrt{6}}{6}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,408}2483a,$$\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,$ 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

$r=\frac{\sqrt{2}}{6}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,235}7023a.$$r={\frac {\sqrt {2}}{6}}\;a\approx 0{,}2357023a.$ 

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в центре её основания.

Такую пирамиду можно получить из шестнадцатиячейника, разрезав его на две равные части.

Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен ${120}^{\circ <!--\; \circ \; -->},$$120^{\circ },$  как и в шестнадцатиячейнике. Угол между октаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен ${60}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$60^{\circ }.$ 

В координатахПравить

Равногранную октаэдрическую пирамиду с длиной ребра $\sqrt{2}$${\sqrt 2}$  можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $\left(\pm <!--\; \pm \; -->1;0;0;0\right),$$\left(\pm 1;\;0;\;0;\;0\right),$ 
• $\left(0;\pm <!--\; \pm \; -->1;0;0\right),$$\left(0;\;\pm 1;\;0;\;0\right),$ 
• $\left(0;0;\pm <!--\; \pm \; -->1;0\right),$$\left(0;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$ 
• $\left(0;0;0;1\right).$$\left(0;\;0;\;0;\;1\right).$ 

Начало координат $(0;0;0;0)$$(0;\;0;\;0;\;0)$  будет центром описанной и обеих полувписанных гиперсфер многоячейника.

Заполнение пространстваПравить

Так как две равногранных октаэдрических пирамиды образуют шестнадцатиячейник, а шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений, равногранная октаэдрическая пирамида тоже является заполняющим четырёхмерное пространство многоячейником.

СсылкиПравить

• Richard Klitzing. Octahedral pyramid