Правильный тетраэдр

Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.

Правильный тетраэдр
Тип	правильный многогранник
Комбинаторика
Элементы	4 грани 6 рёбер 4 вершины Χ = 2
Грани	правильные треугольники
Конфигурация вершины	3.3.3
Двойственный многогранник	тоже правильный тетраэдр
Классификация
Символ Шлефли	{3,3}
Группа симметрии	$T_d\cong <!--\; \cong \; -->S_4$$T_{d}\cong S_{4}$
Количественные данные
Длина ребра	$a$$a$
Площадь поверхности	$\sqrt{3}{a}^2$${\sqrt {3}}a^{2}$
Объём	$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$${\frac {{\sqrt 2}}{12}}a^{3}$
Телесный угол при вершине	$\arccos <!--\; \; -->\frac{23}{27}\approx <!--\; \approx \; -->0.55129$$\arccos {\frac {23}{27}}\approx 0.55129$ ср

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.

Свойства правильного тетраэдраПравить

• Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$ .
• В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
  • Правильный тетраэдр с ребром $x$$x$  состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром $\frac{x}{2}$${\textstyle {\frac {x}{2}}}$  и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром $\frac{x}{2}$${\textstyle {\frac {x}{2}}}$ .
• Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.

• Объём правильного тетраэдра равен $V=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$${\textstyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}}$ 
• Площадь поверхности равна $\sqrt{3}{a}^2$${\textstyle {\sqrt {3}}a^{2}}$ 
• Радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{6}}{12}a$${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a}$ 
• Радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{6}}{4}a$${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$ 
• Радиус полувписанной сферы равен $\frac{\sqrt{2}}{4}a$${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}a}$ 
• Высота правильного тетраэдра равна $\frac{\sqrt{6}}{3}a$${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$  = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = $\frac{\sqrt{6}}{12}a+\frac{\sqrt{6}}{4}a$${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{12}}a+{\frac {\sqrt {6}}{4}}a}$ 
• Угол между двумя гранями равен $\arccos <!--\; \; -->\frac{1}{3}\approx <!--\; \approx \; -->70,{53}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$${\textstyle \arccos {\frac {1}{3}}\approx 70{,}53^{\circ }}$ 

Интересные фактыПравить

Середины граней правильного тетраэдра также образуют правильный тетраэдр.

Соотношения:

• рёбер и высот правильных тетраэдров, радиусов вписанных, описанных и полувписанных сфер соответственно равны $\frac{1}{3}$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ ;
• площадей поверхности равно $\frac{1}{9}$${\textstyle {\frac {1}{9}}}$ ;
• объёмов равно $\frac{1}{27}$${\textstyle {\frac {1}{27}}}$ .

 

Autodualité du tétraèdre régulier.