Гиперобъём

Гиперобъём — некоторая мера (обычно мера Лебега), сопоставляемая внутренности «гипертел» (тел в многомерном пространстве), обобщение трёхмерного объёма. Аналогичная мера для границы гипертела называется гиперплощадь.

ВычислениеПравить

Существует несколько компьютерных алгоритмов вычисления гиперобъёма. См. Алгоритмы точного вычисления гиперобъема.

Точное вычисление значения гиперобъёма множества из d точек n-мерного пространства является #P-трудной задачей.

Гиперобъём некоторых телПравить

Тело	Точное определение	Гиперобъём
Гиперкуб	выпуклая оболочка точек $(\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\pm <!--\; \pm \; -->1,\dots <!--\; \dots \; -->,\pm <!--\; \pm \; -->1}})$$(\underbrace {\pm 1,\ldots ,\pm 1} _{n})$	$V_n=2^n$$V_{n}=2^{n}$
Симплекс	выпуклая оболочка точек $(\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{0,\dots <!--\; \dots \; -->,0,1,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0}})$$(\underbrace {0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0} _{n})$  и начала координат	Определитель Кэли — Менгера
n-мерный шар	ГМТ, удалённых от центра на расстояние не больше r.	$V_n=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{n/2}}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{n}{2}+1)}{R}^n$$V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({n \over 2}+1)}}R^{n}\$
Гиперконус	Выпуклая оболочка $n-<!--\; -\; -->1$$n-1$ -мерного шара радиуса $R$$R$  и точки $(\underset{n-<!--\; -\; -->1}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{0,\dots <!--\; \dots \; -->,0}},h)$$(\underbrace {0,\ldots ,0} _{n-1},h)$	$V_n=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{(n-<!--\; -\; -->1)/2}}{n\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\frac{n+1}{2})}{R}^{n-<!--\; -\; -->1}h$$V_{n}={\frac {\pi ^{(n-1)/2}}{n\Gamma ({{n+1} \over 2})}}R^{n-1}h$

В других областяхПравить

Существует т. н. «модель гиперобъёма» Дж. Э. Хатчинсона, согласно которой экологическая ниша представлена как n-мерный куб, на осях которого отложены экологические факторы.

В работе детально рассматривается применение индикатора гиперобъема в эволюционных алгоритмах.

См. такжеПравить

• Мера Лебега
• Гиперкуб