142 857 (число)

142 857
142 857
	сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь
← 142 855 · 142 856 · 142 857 · 142 858 · 142 859 →
Разложение на множители	33· 11 · 13 · 37
Римская запись	CXLMMDCCCLVII
Двоичное	100010111000001001
Восьмеричное	427011
Шестнадцатеричное	22E09
	Медиафайлы на Викискладе

142 857 (сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь) — натуральное число, расположенное между числами 142 856 и 142 858. Оно не является простым числом, а относительно последовательности простых чисел расположено между 142841 и 142867^[1].

Математические свойстваПравить

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {1}{7}}$ в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое числоПравить

Умножение 142 857 на 1,2,3,4,5,6

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142 857^[2].

1 × 142 857 = 142 857

2 × 142 857 = 285 714

3 × 142 857 = 428 571

4 × 142 857 = 571 428

5 × 142 857 = 714 285

6 × 142 857 = 857 142

7 × 142 857 = 999 999

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {1}{7}}$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {2}{7}}$ и т. д.)

Обобщения цикличностиПравить

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999^[2]:

000008 × 142857 = 11428560000 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857)

000042 × 142857 = 59999940000 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999)

142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {5}{10}}$ или на $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {2}{10}}$ соответственно) также можно получить сдвигом:

142 857 / 2 = 71 428.5

142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

\text{[math]}

857^{2}=734449

\text{[math]}

142^{2}=20164

\text{[math]}

734449-20164=714285

Как период обыкновенной дробиПравить

Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\frac {1}{7}}$ . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами^[2]^[3]^[4]:

1/7 = 0.14285714285714285714…

2/7 = 0.28571428571428571428…

3/7 = 0.42857142857142857142…

4/7 = 0.57142857142857142857…

5/7 = 0.71428571428571428571…

6/7 = 0.85714285714285714285…

Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби)^[2]^[4]. Первые несколько значений $\text{[math]}$ n, для которых длина периода дроби 1/ $\text{[math]}$ n в десятичной записи равна $\text{[math]}$ n - 1, равны 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131^[2]^[5].

Другие операцииПравить

Если десятичную запись числа 142 857 разбить на две части, то есть 142 и 857, и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99^[2].

Другие свойстваПравить

142 857 является также числом харшад^[6]:

\text{[math]}

142857=5291\cdot (1+4+2+8+5+7)

и числом Капрекара^[7]^[2]^[3]:

\text{[math]}

142857^{2}=20408122449,

\text{[math]}

142857=20408+122449.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

↑ Свойства числа 142857 Архивная копия от 29 августа 2016 на Wayback Machine ru.numberempire.com
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
↑ ¹ ² Robert Munafo. 142857 (неопр.). Notable Properties of Specific Numbers at MROB. Дата обращения: 24 октября 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.
↑ ¹ ² Robert Munafo. 7 (неопр.). Notable Properties of Specific Numbers at MROB. Дата обращения: 24 октября 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.
↑ Последовательность A006883 в OEIS = Long period primes: the decimal expansion of 1/p has period p-1.
↑ Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits.
↑ Последовательность A006886 в OEIS = Kaprekar numbers: n such that n=q+r and n^2=q*10^m+r, for some m >= 1, q>=0 and 0<=r<10^m, with n != 10^a, a>=1.

ЛитератураПравить

Мартин Гарднер. Лучшие математические игры и головоломки. — М.: АСТ, Астрель, 2009. — С. 111—121. — ISBN 978-5-17-058244-0 («Издательство АСТ»), 978-5-271-23247-3 («Издательство Астрель»).
Яков Перельман. Магические кольца // Занимательная арифметика: загадки и диковинки в мире чисел. — Издание восьмое, сокращённое. — М.: Детгиз, 1954. — С. 90—96.
David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.
Joe Roberts. Lure of the Integers (англ.). — MAA, 1992. — P. 26. — ISBN 0-88385-502-X.

[1] Свойства числа 142857 Архивная копия от 29 августа 2016 на Wayback Machine ru.numberempire.com

[wells142857-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ David Wells. 142857 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — 1st ed.. — Penguin Books, 1987. — 229 p. — ISBN 0-14-008029-5.

[mrob142857-3] ¹ ² Robert Munafo. 142857 (неопр.). Notable Properties of Specific Numbers at MROB. Дата обращения: 24 октября 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.

[mrob7-4] ¹ ² Robert Munafo. 7 (неопр.). Notable Properties of Specific Numbers at MROB. Дата обращения: 24 октября 2015. Архивировано 11 октября 2015 года.

[5] Последовательность A006883 в OEIS = Long period primes: the decimal expansion of 1/p has period p-1.

[6] Последовательность A005349 в OEIS = Niven (or Harshad) numbers: numbers that are divisible by the sum of their digits.

[7] Последовательность A006886 в OEIS = Kaprekar numbers: n such that n=q+r and n^2=q*10^m+r, for some m >= 1, q>=0 and 0<=r<10^m, with n != 10^a, a>=1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]