Теорема Миди

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби $a/p$$a/p$ (где $p$$p$ — простое число) длина записи периода дроби состоит из $2n$$2n$ цифр, то есть:

$\frac{a}{p}=0.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a_1{a}_2{a}_3\dots <!--\; \dots \; -->a_n{a}_{n+1}\dots <!--\; \dots \; -->a_{2n}},$${\frac {a}{p}}=0.\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{{n+1}}\dots a_{{2n}}},$

то

$a_i+a_{i+n}=9$$a_{i}+a_{i+n}=9$

$a_1\dots <!--\; \dots \; -->a_n+a_{n+1}\dots <!--\; \dots \; -->a_{2n}={10}^n-<!--\; -\; -->1.$$a_{1}\dots a_{n}+a_{{n+1}}\dots a_{{2n}}=10^{n}-1.$

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

$\frac{1}{17}=0,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0588235294117647},$${\frac 1{17}}=0,\overline {0588235294117647},$ и $05882352+94117647=99999999.$$05882352+94117647=99999999.$

Расширенная теорема МидиПравить

Пусть $h$$h$  — число цифр в периоде десятичной записи дроби $a/p$$a/p$  (где $p$$p$  — простое число). Если $k$$k$  — любой делитель числа $h$$h$ , теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди постулирует, что если период десятичной записи дроби $a/p$$a/p$  разделить на числа с $k$$k$  цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

$\frac{1}{19}=0.\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{052631578947368421}$${\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}$ 

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

$052631+578947+368421=999999.$$052631+578947+368421=999999.$ 

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

$052+631+578+947+368+421=2997=3\times <!--\; \times \; -->999.$$052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.$ 

Теорема Миди в системах с другим основаниемПравить

Теорема Миди не зависит от основания системы счисления. Для системы счисления, отличной от десятичной, в ней надо заменить 10 на основание системы — k, а 9 на k-1. Так, например, в восьмеричной системе счисления:

$\frac{1}{19}=0.{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{032745}}_8$${\frac {1}{19}}=0.\overline {032745}_{8}$ 

${032}_8+{745}_8={777}_8$$032_{8}+745_{8}=777_{8}$ 

${03}_8+{27}_8+{45}_8={77}_8.$$03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Midy's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.