Экспонента матрицы

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы $X$$X$ размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ экспонента от $X$$X$, обозначаемая как $e^X$$e^{X}$ или $\exp <!--\; \; -->(X)$$\exp(X)$, — это матрица $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$, определяемая степенным рядом:

$e^X=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{k!}{X}^k$$e^{X}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}$,

где $X^k$$X^{k}$ — k-я степень матрицы $X$$X$. Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от $X$$X$ всегда корректно определена.

Если $X$$X$ — матрица размера $1\times <!--\; \times \; -->1$$1\times 1$, то матричная экспонента от $X$$X$ есть матрица размерности $1\times <!--\; \times \; -->1$$1\times 1$, единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента $X$$X$.

СвойстваПравить

Основные свойстваПравить

Для комплексных матриц $X$$X$  и $Y$$Y$  размера $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , произвольных комплексных чисел $a$$a$  и $b$$b$ , единичной матрицы $E$$E$  и нулевой матрицы $0$$0$ , экспонента обладает следующим свойствами:

• $\exp <!--\; \; -->0=E$$\exp 0=E$ ;
• $\exp <!--\; \; -->aX\exp <!--\; \; -->bX=\exp <!--\; \; -->\left((a+b)X\right)$$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
• $\exp <!--\; \; -->X\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->X\right)=E$$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
• если $XY=YX$$XY=YX$ , то $\exp <!--\; \; -->X\exp <!--\; \; -->Y=\exp <!--\; \; -->Y\exp <!--\; \; -->X=\exp <!--\; \; -->(X+Y)$$\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$ ;
• если $Y$$Y$  — невырожденная матрица, то $\exp <!--\; \; -->(YX{Y}^{-<!--\; -\; -->1})=Y\exp <!--\; \; -->(X)Y^{-<!--\; -\; -->1}$$\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$ .
• $\exp <!--\; \; -->X^{\mathrm{T}}=(\exp <!--\; \; -->X{)}^{\mathrm{T}}$$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , где $X^{\mathrm{T}}$$X^{{\mathrm T}}$  обозначает транспонированную матрицу для $X$$X$ , отсюда следует, что если $X$$X$  является симметричной, то $\exp <!--\; \; -->X$$\exp X$  тоже симметрична, а если $X$$X$  — кососимметричная матрица, то $\exp <!--\; \; -->X$$\exp X$  — ортогональная;
• $\exp <!--\; \; -->(X^{\ast <!--\; \ast \; -->})=(\exp <!--\; \; -->X{)}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , где $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$  обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для $X$$X$ , отсюда следует, что если $X$$X$  — эрмитова матрица, то $\exp <!--\; \; -->X$$\exp X$  тоже эрмитова, а если $X$$X$  — антиэрмитова матрица, то $\exp <!--\; \; -->X$$\exp X$  — унитарная
• $det(\exp <!--\; \; -->X)=\exp <!--\; \; -->(\mathrm{tr}<!--\; \; -->X)$$\det(\exp X)=\exp(\operatorname {tr} X)$ , где $\mathrm{tr}<!--\; \; -->X$$\operatorname {tr}X$  — след матрицы $X$$X$ .

Системы линейных дифференциальных уравненийПравить

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение системы:

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t),y(0)=y_0$${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}$ ,

где $A$$A$  — постоянная матрица, даётся выражением:

$y(t)=e^{At}{y}_0.$$y(t)=e^{At}y_{0}.$ 

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

$\frac{d}{dt}y(t)=Ay(t)+z(t),y(0)=y_0$${\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}$ .

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

$\frac{d}{dt}y(t)=A(t)y(t),y(0)=y_0$${\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}$ ,

где $A$$A$  — не постоянная, но разложение Магнуса^[en] позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Экспонента суммыПравить

Для любых двух вещественных чисел (скаляров) $x$$x$  и $y$$y$  экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению $e^{x+y}=e^x\cdot <!--\; \cdot \; -->e^y$$e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}$ , это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы $X$$X$  и $Y$$Y$  коммутируют (то есть $XY=YX$$XY=YX$ ), то $\exp <!--\; \; -->(X+Y)=\exp <!--\; \; -->(X)\exp <!--\; \; -->(Y)$$\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ . Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления $\exp <!--\; \; -->(X+Y)$$\exp(X+Y)$  используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства $\exp <!--\; \; -->(X+Y)=\exp <!--\; \; -->(X)\exp <!--\; \; -->(Y)$$\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$  не следует, что $X$$X$  и $Y$$Y$  коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Неравенство Голдена — ТомпсонаПравить

Если $A$$A$  и $H$$H$  — эрмитовы матрицы, то:

$\mathrm{tr}<!--\; \; -->\exp <!--\; \; -->(A+H)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{tr}<!--\; \; -->(\exp <!--\; \; -->(A)\exp <!--\; \; -->(H))$$\operatorname {tr}\exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr}(\exp(A)\exp(H))$ ,

Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а $\mathrm{tr}<!--\; \; -->(\exp <!--\; \; -->(A)\exp <!--\; \; -->(B)\exp <!--\; \; -->(C))$$\operatorname {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$  не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц $A$$A$ , $B$$B$  и $C$$C$ .

Теорема ЛибаПравить

Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа^[en], гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы $H$$H$ , функция:

$f(A)=\mathrm{tr}\exp <!--\; \; -->\left(H+\log <!--\; \; -->A\right)$$f(A)=\operatorname {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)$ 

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц.

Экспоненциальное отображениеПравить

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к $\exp <!--\; \; -->X$$\exp X$  матрица равна $\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->X)$$\exp(-X)$ , это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

$\exp :<!--\; :\; -->M_n(\mathbb{C})\to <!--\; \to \; -->\mathrm{G}\mathrm{L}(n,\mathbb{C})$$\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ 

из пространства всех матриц размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  на полную линейную группу порядка $n$$n$ , то есть группу всех невырожденных матриц размерности $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ . Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ , а не вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ ).

Для любых двух матриц $X$$X$  и $Y$$Y$  имеет место неравенство

$\Vert <!--\; \Vert \; -->e^{X+Y}-<!--\; -\; -->e^X\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->Y\Vert <!--\; \Vert \; -->e^{\Vert <!--\; \Vert \; -->X\Vert <!--\; \Vert \; -->}{e}^{\Vert <!--\; \Vert \; -->Y\Vert <!--\; \Vert \; -->}$$\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}$ ,

где $\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|\cdot \|$  обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах $M_n(\mathbb{C})$$M_{n}(\mathbb {C} )$ .

Отображение:

$t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->e^{tX},t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}$ 

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при $t=0$$t = 0$ .

ПриложенияПравить

Линейные дифференциальные уравненияПравить

Пример однородной системыПравить

Для системы:

${\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix}}$ 

её матрица есть:

$A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.$ 

Можно показать, что экспонента от матрицы $tA$$tA$  есть

$e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+1)e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}+2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~,$ 

таким образом, общее решение этой системы есть:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\frac{x(0)}{2}\left[\begin{array}{c}{e}^{2t}(1+e^{2t}-<!--\; -\; -->2t)\\ -<!--\; -\; -->e^{2t}(-<!--\; -\; -->1+e^{2t}-<!--\; -\; -->2t)\\ e^{2t}(-<!--\; -\; -->1+e^{2t}+2t)\end{array}\right]+\frac{y(0)}{2}\left[\begin{array}{c}-<!--\; -\; -->2t{e}^{2t}\\ 2(t+1)e^{2t}\\ 2t{e}^{2t}\end{array}\right]+\frac{z(0)}{2}\left[\begin{array}{c}{e}^{2t}(-<!--\; -\; -->1+e^{2t})\\ -<!--\; -\; -->e^{2t}(-<!--\; -\; -->1+e^{2t})\\ e^{2t}(1+e^{2t})\end{array}\right].$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^{{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~.$ 

Пример неоднородной системыПравить

Для решения неоднородной системы:

${\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t}}\end{matrix}}$ 

вводятся обозначения:

$A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,$ 

и

$\mathbf{b}=e^{2t}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$${\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}$ 

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

${\mathbf{y}}_p=e^{tA}{\int <!--\; \int \; -->}_0^t{e}^{(-<!--\; -\; -->u)A}\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}\\ 0\\ e^{2u}\end{array}\right]du+e^{tA}\mathbf{c}$${\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}$ 

${\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&-2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}$ 

${\mathbf{y}}_p=e^{tA}{\int <!--\; \int \; -->}_0^t\left[\begin{array}{c}{e}^{2u}(2e^u-<!--\; -\; -->2u{e}^{2u})\\ \\ e^{2u}(-<!--\; -\; -->2e^u+2(1+u)e^{2u})\\ \\ 2e^{3u}+2u{e}^{4u}\end{array}\right]du+e^{tA}\mathbf{c}$${\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u}}+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}$ 

${\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}}&0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}}&2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,$ 

где $\mathbf{c}={\mathbf{y}}_p(0)$${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$  — начальное условие.

Обобщение: вариация произвольной постояннойПравить

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: ${\mathbf{y}}_p(t)=\exp <!--\; \; -->(tA)\mathbf{z}(t)$${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$ :

${\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end{aligned}}$ 

Чтобы ${\mathbf{y}}_p$${\mathbf y}_{p}$  было решением, должно иметь место следующее:

${\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'(t)&=(e^{{tA}})^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}$ 

Таким образом:

${\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(t-u)A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,$ 

где $\mathbf{c}$${\mathbf {c}}$  определяется из начальных условий задачи.

См. такжеПравить

• Тригонометрические функции от матрицы

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W., «Matrix Exponential», MathWorld
• Module for the Matrix Exponential