Функциональный ряд

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$.

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае - это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональная последовательностьПравить

Запрос «Функциональная последовательность»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве $E$$\ E$ , включённом в d-мерное евклидово пространство ${\mathbb{R}}^d$$\ {\mathbb {R}}^{d}$ .

$u_k(x):E\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathbb{C},E\subseteq <!--\; \subseteq \; -->{\mathbb{R}}^d,k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N}}$ 

Поточечная сходимостьПравить

Функциональная последовательность $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  сходится поточечно к функции $u(x)$$\ {u}(x)$ , если $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->E\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{u}_k(x)=u(x)$$\forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$ .

Равномерная сходимостьПравить

Существует функция $u(x):E\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathbb{C}$$\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$  такая, что: $sup\mid <!--\; \mid \; -->u_k(x)-<!--\; -\; -->u(x)\mid <!--\; \mid \; -->\stackrel{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{⟶<!--\; ⟶\; -->}0,x\in <!--\; \in \; -->E$$\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$ 

Факт равномерной сходимости последовательности $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  к функции $u(x)$$\ u(x)$  записывается: $u_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->u(x)$$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$ 

Функциональный рядПравить

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ 

$S_n(x)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\ {S_{n}}(x)=\sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$  — n-ная частичная сумма.

СходимостьПравить

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность $S_n(x)$$\ {S_{n}}(x)$  его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность $S_n(x)$$\ {S_{n}}(x)$  его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости рядаПравить

$u_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->0$$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0$  при $k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\ k\rightarrow \infty$ 

Или, что эквивалентно $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\,\,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$ , где Х - область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимостиПравить

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ , определённых на множестве $V$$V$ , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ , начиная с некоторого номера $N=N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N=N(\varepsilon)$ , при всех $n,m$$n,m$ , больше либо равных $N$$N$ , одновременно для всех $x\in <!--\; \in \; -->V$$x \in V$  значения функций $f_n(x)$$f_{n}(x)$  и $f_m(x)$$f_{m}(x)$  различались не более, чем на $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ .

$\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)-\ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon$ 

Абсолютная и условная сходимостьПравить

Ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$  называется абсолютно сходящимся, если $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mid <!--\; \mid \; -->u_k(x)\mid <!--\; \mid \; -->$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$  сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$  сходится, а $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mid <!--\; \mid \; -->u_k(x)\mid <!--\; \mid \; -->$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$  расходится, то ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$  называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимостиПравить

Признак сравненияПравить

Ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$  сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

1. Ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{v}_k(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$  сходится равномерно.
2. $\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$ 

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда $v_k(x)=a_k$$\ {v_{k}}(x)=a_{k}$ . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак ДирихлеПравить

Ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k(x)u_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$  сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $a_k(x)$$\ {a_{k}}(x)$  монотонна $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->E$$\ \forall x\in E$  и $a_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->0$$\ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0$ 
2. Частичные суммы $S_n(x)=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\ {S_{n}}(x)=\sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$  равномерно ограничены.

Признак АбеляПравить

Ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k(x)u_k(x)$$\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$  сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

1. Последовательность действительнозначных функций $a_k(x)$$\ {a_{k}}(x)$  равномерно ограничена и монотонна $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->E$$\ \forall x\in E$ .
2. Ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$  равномерно сходится.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядовПравить

Теоремы о непрерывностиПравить

Рассматриваются комплекснозначные функции на множестве $E$$\ E$ 

Последовательность непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Последовательность $u_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->u(x)$$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$ 

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k:$$\ \forall k:$  функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  непрерывна в точке $x_0$$\ x_0$ 

Тогда $u(x)$$\ u(x)$  непрерывна в $x_0$$\ x_0$ .

Ряд непрерывных в точке функций сходится к функции, непрерывной в этой точке.

Ряд $\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->S(x)$$\ \sum _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)$ 

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k:$$\ \forall k:$  функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  непрерывна в точке $x_0$$\ x_0$ 

Тогда $S(x)$$\ S(x)$  непрерывна в $x_0$$\ x_0$ .

Теоремы об интегрированииПравить

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о переходе к пределу под знаком интеграла.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k:$$\ \forall k:$  функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  непрерывна на отрезке $[a,b]$$\ [a,b]$ 

$u_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->u(x)$$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$  на $[a,b]$$\ [a,b]$ 

Тогда числовая последовательность $\left\{\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_k(x)dx\right\}$$\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}$  сходится к конечному пределу $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}u(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}{u(x)dx}$ .

Теорема о почленном интегрировании.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k:$$\ \forall k:$  функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  непрерывна на отрезке $[a,b]$$\ [a,b]$ 

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->S(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)$  на $[a,b]$$\ [a,b]$ 

Тогда числовой ряд $\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}{u}_k(x)dx$$\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k}}(x)dx$  сходится и равен $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}S(x)dx$$\int \limits _{a}^{b}S(x)dx$ .

Теоремы о дифференцированииПравить

Рассматриваются действительнозначные функции на отрезке действительной оси.

Теорема о дифференцировании под пределом.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k:$$\ \forall k:$  функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  дифференцируема (имеет непрерывную производную) на отрезке $[a,b]$$\ [a,b]$ 

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}c\in <!--\; \in \; -->[a,b]:u_k(c)$$\ \exists c\in [a,b]:~u_{k}(c)$  сходится (к конечному пределу)

$u_k^{\prime }(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x)$$\ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)$  на отрезке $[a,b]$$\ [a,b]$ 

Тогда $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}u(x):u_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->u(x),u(x)$$\ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)$  — дифференцируема на $[a,b]$$\ [a,b]$ , $u^{\prime }(x)=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(x)$$\ u'(x)=\omega (x)$  на $[a,b]$$\ [a,b]$ 

Теорема о почленном дифференцировании.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k:$$\ \forall k:$  функция $u_k(x)$$\ {u_{k}}(x)$  дифференцируема на отрезке $[a,b]$$\ [a,b]$ 

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}c\in <!--\; \in \; -->[a,b]:\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(c)$$\ \exists c\in [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)$  сходится

$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k^{\prime }(x)$$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)$  равномерно сходится на отрезке $[a,b]$$\ [a,b]$ 

Тогда $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}S(x):\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k(x)\rightrightarrows <!--\; \rightrightarrows \; -->S(x),S(x)$$\ \exists S(x):~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)$  — дифференцируема на $[a,b]$$\ [a,b]$ , $S^{\prime }(x)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k^{\prime }(x)$$\ S'(x)=\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)$  на $[a,b]$$\ [a,b]$ 

СсылкиПравить

• О.В.Бесов. ‹…Š–ˆˆЛекции по математическому анализу. Часть 1. — М.: МФТИ, 2004. — 325 с. Глава 16 Функциональные последовательности и ряды