Признак Вейерштрасса

Признак Вейерштрасса — признак сходимости рядов из функций.

Рассмотрим ряд: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}u_{n}(x)$

Пусть существует последовательность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $a_{n}$ $a_n$ такая, что для любого $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in X$ $x\in X$ выполняется неравенство $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $0\leqslant |u_{n}(x)|\leqslant a_{n}$ $0\leqslant |u_{n}(x)|\leqslant a_{n}$ , кроме того, ряд $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$ сходится. Тогда ряд $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}u_{n}(x)$ сходится на множестве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ $X$ абсолютно и равномерно.

Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.