Равномерная ограниченность

Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f_{\alpha }:X\to \mathbb {R}$, где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A$$\alpha\in A$, $A$$A$ — некоторое множество индексов, $X$$X$ — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой $C$$C$.

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}C>0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->X|f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)|⩽<!--\; ⩽\; -->C.$$\exists C>0\;\forall \alpha \in A\;\forall x\in X\;|f_{\alpha }(x)|\leqslant C.$

Вариации и обобщенияПравить

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f_{\alpha }:X\to Y$ , где $Y$$Y$  — полунормированное пространство с полунормой $\Vert <!--\; \Vert \; -->\ast <!--\; \ast \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\Vert *\Vert$ , называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная $C>0$$C > 0$ , что для всех $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A$$\alpha\in A$  и всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  выполняется неравенство

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->C$$\Vert f_{\alpha }(x)\Vert \leqslant C$ 

Равномерная ограниченность сверху (снизу) означает что существует такая постоянная $C\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$C\in \mathbb {R}$ , что для всех а $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A$$\alpha\in A$  и всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$  выполняется неравенство $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)⩽<!--\; ⩽\; -->C$$f_{\alpha }(x)\leqslant C$  (соответственно $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->C$$f_{\alpha }(x)\geqslant C$ )

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:X\to <!--\; \to \; -->Y$$f_{\alpha }:X\to Y$  в упорядоченные в том или ином смысле множества.

См. такжеПравить

• Принцип равномерной ограниченности — теорема Банаха-Штейнгауза