Признак сравнения
Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.
ФормулировкаПравить
|
ДоказательствоПравить
Обозначим частные суммы ряда . Из неравенств следует, что Поэтому из ограниченности вытекает ограниченность а из неограниченности следует неограниченность Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для
Признак сравнения отношенийПравить
Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.
ФормулировкаПравить
|
ДоказательствоПравить
Перемножая неравенства, составленные для , получаем
- или
Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов и (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).
Предельный признак сравненияПравить
Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.
ФормулировкаПравить
|
ДоказательствоПравить
Из мы знаем, что для любого существует такое, что для всех мы имеем , или, что то же самое:
Так как , мы можем взять достаточно малым, чтобы было положительным. Но тогда , и по вышеописанному признаку сравнения если сходится, то сходится и .
Точно так же , и тогда, если сходится, то сходится и .
Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.
ЛитератураПравить
- Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
- Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.
СсылкиПравить
Для улучшения этой статьи желательно:
|