Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Признак сравнения — Википедия

Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

ФормулировкаПравить

Пусть даны два знакоположительных ряда:

n = 1 a n   и n = 1 b n  

.

Тогда, если, начиная с некоторого места ( n > N  ), выполняется неравенство:

0 a n b n  ,

то из сходимости ряда n = 1 b n   следует сходимость n = 1 a n  .

Или же, если ряд n = 1 a n   расходится, то расходится и n = 1 b n  .

ДоказательствоПравить

Обозначим σ n   частные суммы ряда b k  . Из неравенств ( )   следует, что 0 s n σ n , n .   Поэтому из ограниченности ( σ n )   вытекает ограниченность ( s n ) ,   а из неограниченности ( s n )   следует неограниченность ( σ n ) .   Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для b k .  


Признак сравнения отношенийПравить

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

ФормулировкаПравить

Если для членов строго положительных рядов n = 1 a n   и n = 1 b n  , начиная с некоторого места ( n > N  ), выполняется неравенство:

a n + 1 a n b n + 1 b n  ,

то из сходимости ряда n = 1 b n   следует сходимость n = 1 a n  , а из расходимости n = 1 a n   следует расходимость n = 1 b n  .

ДоказательствоПравить

Перемножая неравенства, составленные для k = 1 , 2 , . . . , n 1  , получаем

a n a 1 b n b 1 ,   или a n a 1 b 1 b n , n .  

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов a k   и a 1 b 1 b k   (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).


Предельный признак сравненияПравить

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

ФормулировкаПравить

Если n = 1 a n   и n = 1 b n   есть строго положительные ряды и

lim n a n b n = c  ,

то при 0 c <   из сходимости n = 1 b n   следует сходимость n = 1 a n  , а при 0 < c   из расходимости n = 1 b n   следует расходимость n = 1 a n  .

ДоказательствоПравить

Из lim n a n b n = c   мы знаем, что для любого ε > 0   существует n 0   такое, что для всех n n 0   мы имеем | a n b n c | < ε  , или, что то же самое:

ε < a n b n c < ε  
c ε < a n b n < c + ε  
( c ε ) b n < a n < ( c + ε ) b n  

Так как c > 0  , мы можем взять ε   достаточно малым, чтобы c ε   было положительным. Но тогда b n < 1 c ε a n  , и по вышеописанному признаку сравнения если n a n   сходится, то сходится и n b n  .

Точно так же a n < ( c + ε ) b n  , и тогда, если n b n   сходится, то сходится и n a n  .

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.

ЛитератураПравить

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

СсылкиПравить