Регулярное локальное кольцо

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка $x$$x$ алгебраического многообразия $X$$X$ является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ${\mathcal{O}}_{X,x}$$\mathcal{O}_{X, x}$ ростков рациональных функций в точке $x$$x$ регулярно.

Эквивалентные определенияПравить

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если $A$$A$  — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом $\mathfrak{m}$$\mathfrak m$ , следующие определения эквивалентны:

• Пусть $\mathfrak{m}=(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)$$\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)$  где $n$$n$  выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). $A$$A$  регулярно, если

$\text{dim }A=n.$$\mbox{dim } A = n.$ 

• Пусть $k=A/\mathfrak{m}$$k = A / \mathfrak{m}$  — поле вычетов кольца $A$$A$ . Тогда $A$$A$  регулярно, если

${\dim }_k<!--\; \; -->\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2=\dim <!--\; \; -->A$$\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A$ ,

Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.

• Пусть $\text{gl dim }A$$\mbox{gl dim } A$  — глобальная размерность $A$$A$  (то есть супремум проективных размерностей всех $A$$A$ -модулей.) Тогда $A$$A$  регулярно, если

${\mbox{gl dim }}A<\infty$ ,

в этом случае $\text{gl dim }A$$\mbox{gl dim } A$  всегда совпадает с размерностью Крулля.

ПримерыПравить

• Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
• Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов $k[[x]]$$k[[x]]$  (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
• Более общо, кольцо формальных степенных рядов $k[[x_1,x_2,\cdots <!--\; \cdots \; -->,x_d]]$$k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]$  — регулярное локальное кольцо размерности d.
• Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов $A[x]$$A[x]$  и кольцо формальных степенных рядов $A[[x]]$$A[[x]]$  регулярны.
• Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, $\mathbb{Z}[x{]}_{(2,x)}$$\mathbb Z[x]_{(2,x)}$  — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
• Пополнение^[en] регулярного кольца регулярно.

СвойстваПравить

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если $(A,\mathfrak{m})$$(A, \mathfrak{m})$  — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

$A\cong <!--\; \cong \; -->k[[x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_d]]$$A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]$ ,

где $k=A/\mathfrak{m}$$k = A / \mathfrak{m}$ , а $d$$d$  — размерность Крулля.

Происхождение основных определенийПравить

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году, однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского, который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f₁,…,f_m. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂f_i/∂x_j)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.

ЛитератураПравить

• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000 — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.