Теорема Рауса — Гурвица

Для термина «Раус» см. также другие значения.

Для термина «Гурвиц» см. также другие значения.

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица.

Условные обозначенияПравить

Пусть $f(z)$$f(z)$  — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени $n$$n$ . При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии $z=ic$$z=ic$  где $i$$i$  — мнимая единица и $c$$c$  — вещественное число). Давайте обозначим $P_0(y)$$P_{0}(y)$  (многочлен степени $n$$n$ ) и $P_1(y)$$P_{1}(y)$  (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем $n$$n$ ) через $f(iy)=P_0(y)+i{P}_1(y)$$f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ , относительно вещественной и мнимой части $f$$f$  мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• $p$$p$  — число корней $f$$f$  в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• $q$$q$  — число корней $f$$f$  в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\arg <!--\; \; -->f(iy)$$\Delta \arg f(iy)$  — изменение аргумента $f(iy)$$f(iy)$ , когда $y$$y$  пробегает от $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  до $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ ;
• $w(x)$$w(x)$  — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из $P_0(y)$$P_{0}(y)$  и $P_1(y)$$P_{1}(y)$  с помощью алгоритма Евклида;

• $I_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}r(x)$$I_{-\infty }^{+\infty }r(x)$  — индекс Коши рациональной функции $r(x)$$r(x)$  на вещественной прямой.

Пусть $f(z)$$f(z)$  — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. $f$$f$  он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим $f$$f$  в сумму:

$f(z)=g(z^2)+zh(z)$$f(z)=g(z^{2})+zh(z)$ .

Обозначим коэффициенты $g$$g$  как $a_j^0$$a_{j}^{0}$ , а $h$$h$  — как $a_j^1$$a_{j}^{1}$ . Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена $g$$g$  является $a_0^0$$a_{0}^{0}$ .

ФормулировкаПравить

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

$p-<!--\; -\; -->q=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\arg <!--\; \; -->f(iy)=-<!--\; -\; -->I_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}=w(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})-<!--\; -\; -->w(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}).$$p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).$ 

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента $f(iy)$$f(iy)$  положительно, тогда $f(z)$$f(z)$  имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство $p-<!--\; -\; -->q=w(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})-<!--\; -\; -->w(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$p-q=w(+\infty )-w(-\infty )$  может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть $p+q$$p+q$ , а $w$$w$  из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае $w$$w$  относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости ГурвицаПравить

Основная статья: Критерий Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

$H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&&\\a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\&\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}\end{pmatrix}},$ 

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если $f$$f$  — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости РаусаПравить

Основная статья: Критерий Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами $g$$g$  и $h$$h$ , определяет последовательность $a_0^1,a_0^2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_0^n$$a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots ,a_{0}^{n}$  ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если $f$$f$  — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
• Обратите также внимание, что в записи $a_0^i$$a_{0}^{i}$  число $i$$i$  — индекс переменной, а не показатель степени.

ЭквивалентностьПравить

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

ДоказательствоПравить

Применив метод Гаусса к матрице $H_f$$H_{f}$ , мы получим диагональную матрицу $H_f^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$H_{f}^{*}$ . Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы $h_{j,j}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$h_{j,j}^{*}$  трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу $H_f$$H_{f}$ , мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты $h_{j,j}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$h_{j,j}^{*}$  соответствуют коэффициентам $a_0^j$$a_{0}^{j}$ , мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — ГурвицаПравить

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как $f(z)$$f(z)$  — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда $p-<!--\; -\; -->q=n$$p-q=n$ . Таким образом получаем условия на коэффициенты $f(z)$$f(z)$ , накладывая дополнительные условия $w(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=n$$w(+\infty )=n$  и $w(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=0$$w(-\infty )=0$ .

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. такжеПравить

• Теорема Стилтьеса
• Устойчивый многочлен
• Дробно-линейное преобразование
• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

ЛитератураПравить

• Гантмахер Ф. Р.  Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
• Постников М. М.  Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Теорема Рауса-Гурвица (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.