Критерий устойчивости Рауса

Крите́рий усто́йчивости Ра́уса — один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса — Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости (в отличие от частотных критериев — таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова). Предложен Э. Дж. Раусом в 1875 г.

Несмотря на то, что критерий Рауса исторически предложен ранее критерия Гурвица, его можно использовать как более удобную схему расчёта определителей Гурвица, особенно при больши́х степенях характеристического полинома.

К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ с помощью рекурсивного алгоритма, а также простота анализа для систем небольшого (до 3) порядка. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности метода: при его применении сложно получить информацию о степени устойчивости, о её запасах.

ФормулировкаПравить

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть $W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$$W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$  — передаточная функция системы, а $U(s)=0$$\ U(s)=0$  — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином $U(s)$$\ U(s)$  в виде

$U(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-<!--\; -\; -->1}+...+a_n$$\ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n}$ 

Критерий Рауса представляет собой алгоритм, по которому составляется специальная таблица, в которую коэффициенты характеристического полинома записывают таким образом, что:

1. в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их возрастания;
2. во второй строке — с нечётными;
3. остальные элементы таблицы определяются по формуле: $c_{k,i}=c_{k+1,i-<!--\; -\; -->2}-<!--\; -\; -->r_i\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{k+1,i-<!--\; -\; -->1}$$\ c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1}$ , где $r_i=\frac{c_{1,i-<!--\; -\; -->2}}{c_{1,i-<!--\; -\; -->1}},i\ge <!--\; \ge \; -->3$$r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3$  — номер строки, $k$$\ k$  — номер столбца;
4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Таблица Рауса:

$ri$$\ ri$	$\Downarrow <!--\; \Downarrow \; -->i⟹<!--\; ⟹\; -->k$$\Downarrow i\Longrightarrow k$	1	2	3	4
-	1	$c_{1,1}=a_0$$\ c_{1,1}=a_{0}$	$c_{2,1}=a_2$$\ c_{2,1}=a_{2}$	$c_{3,1}=a_4$$\ c_{3,1}=a_{4}$	...
-	2	$c_{1,2}=a_1$$\ c_{1,2}=a_{1}$	$c_{2,2}=a_3$$\ c_{2,2}=a_{3}$	$c_{3,2}=a_5$$\ c_{3,2}=a_{5}$	...
$r_3=\frac{c_{1,1}}{c_{1,2}}$$r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}$	3	$c_{1,3}=c_{2,1}-<!--\; -\; -->r_3\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{2,2}$$c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2}$	$c_{2,3}=c_{3,1}-<!--\; -\; -->r_3\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{3,2}$$c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2}$	$c_{3,3}=c_{4,1}-<!--\; -\; -->r_3\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{4,2}$$c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2}$	...
$r_4=\frac{c_{1,2}}{c_{1,3}}$$r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}$	4	$c_{1,4}=c_{2,2}-<!--\; -\; -->r_4\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{2,3}$$c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3}$	$c_{2,4}=c_{3,2}-<!--\; -\; -->r_4\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{3,3}$$c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3}$	$c_{3,4}=c_{4,2}-<!--\; -\; -->r_4\cdot <!--\; \cdot \; -->c_{4,3}$$c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3}$	...
...	...	...	...	...	...

Формулировка критерия Рауса:

Для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса $c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...$$\ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...$  были одного знака. Если это не выполняется, то система неустойчива.

См. такжеПравить

• Критерий устойчивости Гурвица
• Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова
• Теорема Рауса — Гурвица
• Теорема Эрмита — Билера
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

ЛитератураПравить

• Постников М. М.  Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.
• Чернецкий В. И.  Математическое моделирование динамических систем. — Петрозаводск: Петрозаводский гос. ун-т, 1996. — 432 с. — ISBN 5-230-08981-4..