Дробно-линейное преобразование

Эта статья о дробно-линейной функции комплексного переменного; об общей дробно-линейной функции см. Дробно-линейная функция.

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние или дро́бно-лине́йное отображе́ние — это отображение комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциями.

Формальное определениеПравить

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства на себя

${\mathbb{C}}^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{C}}^n:z\to <!--\; \to \; -->w,$$\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,$  $z=(z_1,z_2,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n),$$z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),$ 

$w=(w_1,w_2,\dots <!--\; \dots \; -->,w_n)=(L_1(z),L_2(z),\dots <!--\; \dots \; -->,L_n(z)),$$w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),$ 

осуществляемое дробно-линейными функциями

$L_k(z)=\frac{a_{1k}{z}_1+a_{2k}{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_{nk}{z}_n+b_k}{c_{1k}{z}_1+c_{2k}{z}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+c_{nk}{z}_n+d_k},$$L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},$  $k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$k=1,2,\dots ,n,$ 

где $z_1,z_2,\dots <!--\; \dots \; -->,z_n$$z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$  — комплексные переменные, $a_{1k},a_{2k},\dots <!--\; \dots \; -->,a_{nk},$$a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},$  $c_{1k},c_{2k},\dots <!--\; \dots \; -->,c_{nk},$$c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},$  $b_k,d_k$$b_{k},d_{k}$  — комплексные коэффициенты,

$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\cdots <!--\; \cdots \; -->+|c_{nk}|+|d_k|>0$$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0$ .

В случае комплексной плоскости ${\mathbb{C}}^1=\mathbb{C}$$\mathbb {C} ^{1}=\mathbb {C}$  получаем отличное от константы отображение вида

$\mathbb{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}:z\to <!--\; \to \; -->w=L(z)=\frac{az+b}{cz+d},$$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}},$ 

где $ad-<!--\; -\; -->bc\ne <!--\; \ne \; -->0$$ad-bc\neq 0$ .

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.