Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты $E(n)=z^{-<!--\; -\; -->n}=r^{-<!--\; -\; -->n}{e}^{-<!--\; -\; -->i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}n}$$E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

ОпределениеПравить

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.

Двустороннее Z-преобразованиеПравить

Двустороннее Z-преобразование $X(z)$$X(z)$  дискретного временного сигнала $x[n]$$x[n]$  задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x[n]z^{-<!--\; -\; -->n}.$$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.$ 

где $n$$n$  — целое, $z$$z$  — комплексное число.

$z=A{e}^{j\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}},$$z=Ae^{{j\varphi }},$ 

где $A$$A$  — амплитуда, а $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразованиеПравить

В случаях, когда $x[n]$$x[n]$  определена только для $n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$n\geqslant 0$ , одностороннее Z-преобразование задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x[n]z^{-<!--\; -\; -->n}.$$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.$ 

Обратное Z-преобразованиеПравить

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

$x[n]=Z^{-<!--\; -\; -->1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}j}\underset{C}{\oint <!--\; \oint \; -->}X(z)z^{n-<!--\; -\; -->1}dz,$$x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z^{{n-1}}\,dz,$ 

где $C$$C$  — контур, охватывающий область сходимости $X(z)$$X(z)$ . Контур должен содержать все вычеты $X(z)$$X(z)$ .

Положив в предыдущей формуле $z=r{e}^{j\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}$$z=re^{{j\varphi }}$ , получим эквивалентное определение: $x[n]=\frac{r^n}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}X(r{e}^{j\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}})e^{jn\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}d\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}.$$x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi }X(re^{{j\varphi }})e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$ 

Область сходимостиПравить

Область сходимости $D$$D$  представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

$D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=const<\infty \right\}.$ 

Пример 1 (без области сходимости)Править

Пусть $x[n]=0,5^n$$x[n]=0{,}5^{n}$ . Раскрывая $x[n]$$x[n]$  на интервале $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$(-\infty ,\;\infty )$ , получаем

$x[n]=\{\dots <!--\; \dots \; -->;0,5^{-<!--\; -\; -->3};0,5^{-<!--\; -\; -->2};0,5^{-<!--\; -\; -->1};1;0,5;0,5^2;0,5^3;\dots <!--\; \dots \; -->\}=\{\dots <!--\; \dots \; -->;2^3;2^2;2;1;0,5;0,5^2;0,5^3;\dots <!--\; \dots \; -->\}.$$x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ;\;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}.$ 

Смотрим на сумму:

$\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x[n]z^{-<!--\; -\; -->n}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .$ 

Поэтому, не существует таких значений $z$$z$ , которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Связь с преобразованием ЛапласаПравить

Основная статья: Билинейное преобразование

Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом $T,$$T,$  представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:

$s=\frac{2}{T}\frac{(z-<!--\; -\; -->1)}{(z+1)}.$$s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}.$ 

Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:

$z=\frac{2+sT}{2-<!--\; -\; -->sT}.$$z={\frac {2+sT}{2-sT}}.$ 

Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость $s=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$s=\sigma +j\omega$  преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось $j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$j\omega$  s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.

Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной $j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$j\omega$ , переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось $j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$j\omega$  находится в области сходимости преобразования Лапласа.

Таблица некоторых Z-преобразованийПравить

Обозначения:

• $\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$  — функция Хевисайда.
• $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[n]=1$$\delta [n]=1$  для $n=0$$n=0$ , и $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[n]=0$$\delta [n]=0$  для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).

	Сигнал, $x[n]$$x[n]$	Z-преобразование, $X(z)$$X(z)$	Область сходимости
1	$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[n]$$\delta [n]$	$1$$1$	$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}z$$\forall z$
2	$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}[n-<!--\; -\; -->n_0]$$\delta [n-n_{0}]$	$\frac{1}{z^{n_0}}$${\frac {1}{z^{{n_{0}}}}}$	$z\ne <!--\; \ne \; -->0$$z\neq 0$
3	$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$\theta [n]$	$\frac{z}{z-<!--\; -\; -->1}$${\frac {z}{z-1}}$	$|z|>1$$|z|>1$
4	$a^n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$a^{n}\theta [n]$	$\frac{1}{1-<!--\; -\; -->a{z}^{-<!--\; -\; -->1}}$${\frac {1}{1-az^{{-1}}}}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
5	$n{a}^n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$na^{n}\theta [n]$	$\frac{a{z}^{-<!--\; -\; -->1}}{(1-<!--\; -\; -->a{z}^{-<!--\; -\; -->1}{)}^2}$${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
6	$-<!--\; -\; -->a^n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[-<!--\; -\; -->n-<!--\; -\; -->1]$$-a^{n}\theta [-n-1]$	$\frac{1}{1-<!--\; -\; -->a{z}^{-<!--\; -\; -->1}}$${\frac {1}{1-az^{{-1}}}}$	$|z|<|a|$
7	$-<!--\; -\; -->n{a}^n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[-<!--\; -\; -->n-<!--\; -\; -->1]$$-na^{n}\theta [-n-1]$	$\frac{a{z}^{-<!--\; -\; -->1}}{(1-<!--\; -\; -->a{z}^{-<!--\; -\; -->1}{)}^2}$${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$|z|<|a|$
8	$\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}n)\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	$\frac{1-<!--\; -\; -->z^{-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)}{1-<!--\; -\; -->2z^{-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)+z^{-<!--\; -\; -->2}}$${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{-2}}}}$	$|z|>1$$|z|>1$
9	$\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}n)\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	$\frac{z^{-<!--\; -\; -->1}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)}{1-<!--\; -\; -->2z^{-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)+z^{-<!--\; -\; -->2}}$${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{-2}}}}$	$|z|>1$$|z|>1$
10	$a^n\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}n)\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	$\frac{1-<!--\; -\; -->a{z}^{-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)}{1-<!--\; -\; -->2a{z}^{-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)+a^2{z}^{-<!--\; -\; -->2}}$${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{{-2}}}}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$
11	$a^n\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}n)\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}[n]$$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	$\frac{a{z}^{-<!--\; -\; -->1}\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)}{1-<!--\; -\; -->2a{z}^{-<!--\; -\; -->1}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)+a^2{z}^{-<!--\; -\; -->2}}$${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$$|z|>|a|$

См. такжеПравить

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.