Теорема Майерса

Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.

ФормулировкаПравить

Если кривизна Риччи полного $n$$n$ -мерного риманова многообразия $M$$M$  ограничена снизу положительной величиной $(n-<!--\; -\; -->1)k$$(n-1)k$  при некотором $k$$k$ , то его диаметр не превосходит $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/\sqrt{k}$$\pi /{\sqrt {k}}$ . Более того, если диаметр равен $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/\sqrt{k}$$\pi /{\sqrt {k}}$ , то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны $k$$k$ .

СледствияПравить

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия $M$$M$ . В частности, универсальное накрытие $M$$M$  конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{1}M$$\pi _{1}M$  конечна.

ИсторияПравить

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны, (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана Майерсом^[en].

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.

См. такжеПравить

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)