Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)

Теорема Громова о компактности или Теорема выбора Громова гласит, что множество римановых многообразий данной размерности с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.

ИсторияПравить

Теорема была доказана Громовым, в доказательстве используется неравенство Бишопа — Громова.

Появление этой теоремы подтолкнуло изучение александровских пространств ограниченной снизу кривизны в размерностях 3 и выше и, позже, обобщённых пространств с ограниченной снизу кривизной Риччи.

Вариации и обобщенияПравить

• Теорема является обобщением теоремы Майерса.

Теорема Громова — следствие следующего утверждения.

• Любое универсально вполне ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
  • Семейство $X$$X$  метрических пространств называется универсально вполне ограниченным, если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует целое положительное число $N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N(\varepsilon)$  такое, что любое пространство из $X$$X$  допускает $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -сеть из не более чем $N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N(\varepsilon)$  точек.

См. такжеПравить

• Теорема выбора Бляшке

ЛитератураПравить

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.