Теорема Колмогорова — Арнольда

Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.

Трудами Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда установлено, что если f — это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения. А именно,

$f(\mathbf{x})=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{q=0}{\overset{2n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_q\left(\underset{p=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{q,p}(x_p)\right).$$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).$

Построение доказательства, и даже более конкретные конструкции, можно найти в работе Брауна и Грибеля.

В каком-то смысле, Колмогоров и Арнольд показали, что единственная истинная функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с использованием функций одной переменной и сложения.

ИсторияПравить

Теорема Колмогорова — Арнольда тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики. В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 корни можно вычислить по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции (то есть такие уравнения разрешимы в радикалах). Для более высоких порядков теория Галуа показывает, что решения алгебраических уравнений нельзя выразить в терминах базовых алгебраических операций. Из преобразований Чирнгауза следует, что общее алгебраическое уравнение

$x^n+a_{n-<!--\; -\; -->1}{x}^{n-<!--\; -\; -->1}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_0=0$$x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0$ 

можно перевести в форму $y^n+b_{n-<!--\; -\; -->4}{y}^{n-<!--\; -\; -->4}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+b_{1}y+1=0$$y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0$ . Преобразование Чирнгауза определяется по формуле, содержащей только радикалы и арифметические операции и преобразования. Таким образом, решение алгебраического уравнения степени $n$$n$  можно представить в виде суперпозиции функций двух переменных, если $n<7$ , и как суперпозиции функций $n-<!--\; -\; -->4$$n-4$  переменных, если $n⩾<!--\; ⩾\; -->7$$n\geqslant 7$ . Для $n=7$$n=7$  решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалы, и решения уравнения $y^7+b_3{y}^3+b_2{y}^2+b_{1}y+1=0$$y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0$ .

Дальнейшее упрощение алгебраических преобразований, кажется, невозможно, что вело к гипотезе Гильберта, о том что «решение общего уравнения степени 7 нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение тринадцатой проблемы Гильберта к представлению многомерных функций в виде суперпозиции функций низкой размерности. В этом контексте, это стимулировало многочисленные исследования в области теории функций и других связанных проблем разными авторами.

Варианты теоремы Колмогорова — АрнольдаПравить

Вариант теоремы Колмогорова, который уменьшает количество внешних функции ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_q$$\Phi _{q}$ , принадлежит Джорджу Лоренцу. Он показал в 1962 году, что внешние функции ${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_q$$\Phi _{q}$  можно заменить на одну функцию $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$$\Phi$ . Точнее, Лоренц доказал существование функций ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{q,p}$$\phi _{q,p}$ , $q=0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,2n$$q=0,1,\ldots ,2n$ , $p=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$p=1,\ldots ,n,$  таких, что

$f(\mathbf{x})=\underset{q=0}{\overset{2n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left(\underset{p=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{q,p}(x_p)\right).$$f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).$ 

Шпрехер заменил внутренние функции ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{q,p}$$\phi _{q,p}$  на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах. Он доказал, что существуют действительные значения $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->},{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ , непрерывная функция $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}:<!--\; :\; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$  и действительная возрастающая непрерывная функция $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:<!--\; :\; -->[0,2]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\phi \colon [0,2]\to \mathbb {R}$  с $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{Lip}<!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->2/\ln <!--\; \; -->(2N+2))$$\phi \in \operatorname {Lip} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )}$  для $N⩾<!--\; ⩾\; -->n⩾<!--\; ⩾\; -->2$$N\geqslant n\geqslant 2$  такие, что

$f(\mathbf{x})=\underset{q=0}{\overset{2n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left(\underset{p=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_p\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x_p+\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}q)+q\right).$$f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi (x_{p}+\eta q)+q\right).$ 

Филлип А. Остранд обобщил теорему Колмогорова на компактные метрические пространства. Для $p=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m$$p=1,\ldots ,m$  пусть $X_p$$X_{p}$  — компактные метрические пространства конечной размерности $n_p$$n_{p}$ , и пусть $n=\underset{p=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}_p$$n=\sum _{p=1}^{m}n_{p}$ . Тогда существует непрерывная функция ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{q,p}:<!--\; :\; -->X_p\to <!--\; \to \; -->[0,1],q=0,\dots <!--\; \dots \; -->,2n,p=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m$$\phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m$  и непрерывные функции $G_q:<!--\; :\; -->[0,1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},q=0,\dots <!--\; \dots \; -->,2n$$G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n$  такие, что любая непрерывная функция $f:<!--\; :\; -->X_1\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->X_m\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R}$  представима в виде

$f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_m)=\underset{q=0}{\overset{2n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{G}_q\left(\underset{p=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{q,p}(x_p)\right).$$f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m}\phi _{q,p}(x_{p})\right).$ 

Оригинальные ссылкиПравить

• Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Известия АН СССР, 108 (1956), с. 179—182; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 17 (1961), p. 369—373.
• Владимир Арнольд, «О функции трех переменных», Известия АН СССР, 114 (1957), p. 679—681; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 28 (1963), p. 51—54.

Дальнейшее чтениеПравить

• S. Ya. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography), AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)