Теорема Асколи — Арцела

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

ВведениеПравить

В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства $C[a,b]$$C[a,b]$ . Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.

Полнота класса $C[a,b]$$C[a,b]$  позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций $F\subset <!--\; \subset \; -->C(K,Y)$$F\subset C(K,Y)$ , где $K$$K$  — метрический компакт, а $Y$$Y$  — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство $C(K,Y)$$C(K,Y)$  полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства $F$$F$  в $C(K,Y)$$C(K,Y)$ . Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.

Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.

В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.

Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884) и Чезаре Арцела (1882—1883). Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884, который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895, который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958). Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство (англ.) было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5).

ОпределенияПравить

Рассмотрим пространство $C[a,b]$$C[a,b]$  непрерывных функций, заданных на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ , вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

• Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространства $C[a,b]$$C[a,b]$ , однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что $F$$F$  — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ .

Равномерная ограниченностьПравить

Семейство $F$$F$  называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная $K$$K$ , которой ограничены все функции семейства:

$\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K$ .

Равностепенная непрерывностьПравить

Семейство $F$$F$  называется равностепенно непрерывным, если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$  такая, что для всякого элемента $f\in <!--\; \in \; -->F$$f\in F$  и для любых точек $x_1$$x_{1}$  и $x_2$$x_{2}$  таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ , выполняется строгое неравенство $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ .

ФормулировкаПравить

Теорема.

Функциональное семейство $F$$F$  является предкомпактным в полном метрическом пространстве $C[a,b]$$C[a,b]$  тогда и только тогда, когда это семейство является

• равномерно ограниченным
• равностепенно непрерывным.

ДоказательствоПравить

Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.

НеобходимостьПравить

Итак, пусть семейство $F$$F$  — вполне ограниченное.

Фиксируем $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  и построим конечную $(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/3)$$(\varepsilon /3)$ -сеть вида: $\{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i{\}}_{i=1}^n$$\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$ .

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа $K_i$$K_{i}$  такая что, $|\varphi _{i}(x)|<K_{i}$  для всякого $x\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$x\in [a,b]$ .

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять $K=\underset{i}{max}{K}_i+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/3$$K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$ .

Теперь, если взять произвольную функцию $f\in <!--\; \in \; -->F$$f\in F$ , то для этой функции существует такой элемент ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$$\varphi _{i}$  $(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/3)$$(\varepsilon /3)$ -сети, что $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$  для всякого $x\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$x\in [a,b]$ . Очевидно, что в этом случае функция $f$$f$  будет ограничена константой $K$$K$ .

Тем самым показано, что семейство $F$$F$  является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента $(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/3)$$(\varepsilon /3)$ -сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по $(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/3)$$(\varepsilon /3)$  можно подобрать такое ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i$$\delta _{i}$  такое, что $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$  для любых точек $x_1,x_2\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$x_{1},x_{2}\in [a,b]$  таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$ .

Положим $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\underset{i}{min}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_i$$\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$ .

Если теперь рассмотреть произвольную функцию $f\in <!--\; \in \; -->F$$f\in F$ , то для заданного $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  будет иметь место строгое неравенство $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$  для любых точек $x_1,x_2\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$x_{1},x_{2}\in [a,b]$  таких, что $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ .

Действительно, $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ , где ${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_i$$\varphi _{i}$  — подходящий элемент $(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/3)$$(\varepsilon /3)$ -сети.

Тем самым показано, что семейство $F$$F$  является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

ДостаточностьПравить

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства $F$$F$  влечёт существование конечной $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -сети для всякого конечного $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ .

Фиксируем $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ .

Пусть $K$$K$  — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}>0$$\delta >0$ , которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/5$$\varepsilon /5$ .

Рассмотрим прямоугольник $[a,b]\times <!--\; \times \; -->[-<!--\; -\; -->K,K]$$[a,b]\times [-K,K]$  и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$  по горизонтали и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/5$$\varepsilon /5$  по вертикали. Пусть $x_1$$x_{1}$ , $x_2$$x_{2}$ , $\dots <!--\; \dots \; -->$$\dots$  , $x_N$$x_{N}$  — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию $f\in <!--\; \in \; -->F$$f\in F$ , то для каждого узла $x_i$$x_{i}$  решётки обязательно найдётся такая точка $(x_i,y_j)$$(x_{i},y_{j})$  решётки, что $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ . Если теперь рассмотреть ломаную функцию $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$ , которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/5$$\varepsilon /5$ , то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/5$$\varepsilon /5$ , ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на $3\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}/5$$3\varepsilon /5$ .

Поскольку каждая точка $x$$x$  отрезка $[a,b]$$[a,b]$  оказывается на одном из таких отрезков, скажем, $[x_k,x_k+1]$$[x_{k},x_{k}+1]$ , то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ :

$|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon$ .

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -сетью для заданного $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ .

ПриложенияПравить

Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.

В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.

См. такжеПравить

• Лемма Арцела
• Теорема Монтеля о компактном семействе функций — следствие из теоремы Арцела.

ЛитератураПравить

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.