Теорема Монтеля о компактном семействе функций

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Пусть $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{f_{\alpha }(z)\}$ $\{f_{\alpha }(z)\}$ ― бесконечное семейство голоморфных функций в области $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ $D$ комплексной плоскости $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $z$ $z$ ; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{\alpha _{i}}$ $f_{\alpha _{i}}$ можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся локально внутри $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ $D$ , необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено локально внутри $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ $D$ .

Теорема Монтеля обобщается на области $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ $D$ в пространстве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ${\mathbb C}^{n}$ , $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $n>1$ $n>1$ .

Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ${\mathbb C}^{n}$ .

СледствияПравить

Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $D$ компактно лежит в области $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $G$ , тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).