Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

ОпределениеПравить

• Пусть дан числовой ряд $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$  Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{e}^{-<!--\; -\; -->x}\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{x^k}{k!}{S}_k=S,$$\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S,$  где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

• Пусть дан числовой ряд $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$  Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->t}\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{a_n}{n!}{t}^n=S$$\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}t^{n}=S$ 

ПримерПравить

Рассмотрим ряд $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n!x^n.$$\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$  Данный ряд является расходящимся для произвольного $x\ne <!--\; \ne \; -->0.$$x\neq 0.$  Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}n!x^n={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt{e}^{-<!--\; -\; -->t}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(xt{)}^n={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}dt\frac{e^{-<!--\; -\; -->t}}{1-<!--\; -\; -->xt},$$\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t}}{1-xt}},$ 

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

СвойстваПравить

Пусть функция:

$f(z)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{z}^k$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ 

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку $P\in <!--\; \in \; -->C$$P\in C$  проведём отрезок $OP$$OP$  и прямую $L_p,$$L_{p}\,,$ , которая проходит через точку Р перпендикулярно к $OP$$OP$ . Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых $L_p,$$L_{p}\,,$  обозначим $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$ . Тогда граница $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  области $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$  называется многоугольником Бореля функции f(z), а область $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$  её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

$\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{z}^k$$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$ 

является B-сходящимся в области $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$  и не является B-сходящимся в области ${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\Pi ^{*}$  — дополнены до $\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}$$\Pi$  .

См. такжеПравить

• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру

СсылкиПравить

• Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation

ЛитератураПравить

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .