Сходимость по Эйлеру

Сходимость по Эйлеру — обобщение понятия сходимости знакопеременного ряда, предложенное Эйлером.

ОпределениеПравить

Пусть дан числовой ряд $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$  Ряд называется сходящимся по Эйлеру, если существует предел:

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^k{a}_0}{2^{k+1}}=s_e(A)$$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=s_{e}(A)$ 

ПримерПравить

• Рассмотрим ряд $\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k{2}^k$$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}2^{k}$ . Последовательностями разностей будут $1,2,4,8,16,...$$1,2,4,8,16,...$ , $-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->2,-<!--\; -\; -->4,-<!--\; -\; -->8,...$$-1,-2,-4,-8,...$ , $1,2,4,8,...$$1,2,4,8,...$ , $-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->2,-<!--\; -\; -->4,-<!--\; -\; -->8,...$$-1,-2,-4,-8,...$ , преобразование Эйлера приводит к ряду $\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-<!--\; -\; -->\frac{1}{16}+...=\frac{1}{3}$${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+...={\frac {1}{3}}$ .

СвойстваПравить

• Суммирование по Эйлеру является линейным и регулярным.

См. такжеПравить

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю

ЛитератураПравить

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М., 1986. — 408 с.