Нормальная форма Смита

Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицы.

ФормулировкаПравить

Для любой матрицы $A$$A$  размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$  над областью главных идеалов $R$$R$  существуют такие обратимые над $R$$R$  матрицы $B$$B$  и $C$$C$ , что $BAC=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(g_1,g_2,\dots <!--\; \dots \; -->,g_p,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0)$$BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ , где $g_{i+1}$$g_{i+1}$  делится на $g_i$$g_{i}$ . Здесь $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(g_1,g_2,\dots <!--\; \dots \; -->,g_p,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0)$$\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$  обозначает матрицу размера $m\times <!--\; \times \; -->n$$m\times n$  с указанными диагональными элементами и нулями на остальных позициях.

ПримененияПравить

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если $R$$R$  — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если $R=F[t]$$R=F[t]$  — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем $F$$F$ , то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

См. такжеПравить

• Эрмитова нормальная форма

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.