Алгебраически замкнутое поле

Для термина «Замыкание» см. также другие значения.

Алгебраически замкнутое поле — поле $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$, в котором всякий многочлен ненулевой степени над $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$ имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

СвойстваПравить

• В алгебраически замкнутом поле $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$  каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$ . Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов $\mathbb{K}[x]$$\mathbb {K} [x]$  имеет степень 1. См. также теорема Безу.
• Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
• Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
• Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
• Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

КонструкцияПравить

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$ . Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим $F\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{K}[x]$$F\subset \mathbb {K} [x]$  как множество всех неприводимых многочленов над полем $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$ . Каждому многочлену поставим в соответствие переменную $x_f$$x_{f}$ . Обозначим за $X$$X$  множество всех таких переменных $X=\{x_f|f\in <!--\; \in \; -->F\}$$X=\{x_{f}|f\in F\}$ . Образуем кольцо многочленов $\mathbb{K}[X]$$\mathbb {K} [X]$ . Можно показать, что идеал $I$$I$ , порождённый всеми многочленами вида $f(x_f)$$f(x_{f})$ , не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу $I^{\prime }$$I'$ , содержающему идеал $I$$I$  (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле ${\mathbb{K}}_{\mathbb{1}}=\mathbb{K}[X]/I^{\prime }$$\mathbb {K_{1}} =\mathbb {K} [X]/I'$ . Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем $\mathbb{K}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{K}}_{\mathbb{1}}$$\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$ .

На поле ${\mathbb{K}}_{\mathbb{1}}$$\mathbb {K_{1}}$  можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю $\mathbb{K}$$\mathbb {K}$  по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля ${\mathbb{K}}_{\mathbb{1}}$$\mathbb {K_{1}}$  и получим поле ${\mathbb{K}}_{\mathbb{2}}$$\mathbb {K_{2}}$ . Повторяя это $n$$n$  раз можно получить поле ${\mathbb{K}}_{\mathbb{n}}$$\mathbb {K_{n}}$ . Таким образом, мы имеем башню полей:

$\mathbb{K}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{K}}_{\mathbb{1}}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{K}}_{\mathbb{2}}\subset <!--\; \subset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{K}}_{\mathbb{n}}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{K}}_{\mathbb{n}\mathbb{+}\mathbb{1}}\subset <!--\; \subset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n}} \subset \mathbb {K_{n+1}} \subset \ldots$ 

Объединение всех этих полей даст поле ${\mathbb{K}}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{\mathbb{K}}_{\mathbb{n}}$$\mathbb {K_{\infty }} =\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n}}$ . Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.

См. такжеПравить

• Теория Галуа
• Замыкание (алгебра)