Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},\ldots ,x_{n}$ определяется как

$A_d(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\sqrt[d]{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^d}{n}}.$$A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{d}}{n}}}.$

При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:

$A_0(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{d\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{A}_d(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\sqrt[n]{\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{x}_i};$$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};$

$A_{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{d\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{A}_d(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=max\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\};$$A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};$

$A_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=\underset{d\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{A}_d(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=min\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\}.$$A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.$

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Другие названияПравить

Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаиПравить

Средние степеней 0, ±1, 2 и $\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\pm\infty$  имеют собственные имена:

• $A_1(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=m=\frac{x_1+x_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n}{n}$$A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}$  называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)

• $A_0(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=g=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n}$$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=g={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$  называется средним геометрическим;

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

• $A_{-<!--\; -\; -->1}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=h=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{x_n}}$$A_{{-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$  называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

• $A_2(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)=s=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n^2}{n}}$$A_{{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$  называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
• В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
• Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$  и $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  этих чисел:

$\max <!--\; \; -->\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\}=A_{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n);$$\operatorname {max}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{+\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n});$ 

$\min <!--\; \; -->\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\}=A_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n).$$\operatorname {min}\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{{-\infty }}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ 

Неравенство о среднихПравить

Неравенство о средних утверждает, что для любых $d_1>d_2$$d_{1}>d_{2}$ 

$A_{d_1}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\ge <!--\; \ge \; -->A_{d_2}(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$A_{{d_{1}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq A_{{d_{2}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ,

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов $x_1=\dots <!--\; \dots \; -->=x_n$$x_{1}=\ldots =x_{n}$ .

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная $A_d(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$$A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})$  по $d$$d$  неотрицательна и обращается в ноль только при $x_1=\dots <!--\; \dots \; -->=x_n$$x_{1}=\ldots =x_{n}$  (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническомПравить

Основная статья: Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

$max\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\}\ge <!--\; \ge \; -->\frac{x_1+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n}{n}\ge <!--\; \ge \; -->{\left(x_1\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->x_n\right)}^{1/n}\ge <!--\; \ge \; -->\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{1}{x_n}}\ge <!--\; \ge \; -->min\{x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\},$$\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\geq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{{1/n}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\geq \min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\},$ 

где каждое из неравенств обращается в равенство только при $x_1=\dots <!--\; \dots \; -->=x_n$$x_{1}=\ldots =x_{n}$ .

См. такжеПравить

• Неравенство Швейцера

СсылкиПравить

• И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1961. — Вып. 6. — С. 217—226.