Среднее кубическое

Среднее кубическое (также средняя кубическая) — число $x$$x$, равное кубическому корню из среднего арифметического кубов данных чисел $a_1,a_2,...,a_n$$a_{1},a_{2},...,a_{n}$:

$x=\sqrt[3]{\frac{a_1^3+a_2^3+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n^3}{n}}$$x={\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}$

СвойстваПравить

Среднее кубическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

$\frac{a_1+a_2+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n}{n}⩽<!--\; ⩽\; -->\sqrt[3]{\frac{a_1^3+a_2^3+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n^3}{n}}$${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots +a_{n}^{3}}{n}}}$ 

ПрименениеПравить

Среднее кубическое является характеристикой объёмных признаков. Может использоваться, например, для расчёта среднего объёма предметов по их диаметрам. Так, если известны диаметры яиц, то их средний объём может быть рассчитан с помощью среднего кубического. Среднее кубическое находит применение в статистике.

Среднее кубическое для функцииПравить

Среднее кубическое можно также определить для непрерывной функции $f(t)$$f(t)$ , заданной на отрезке $[T_1,T_2]$$[T_{1},\,T_{2}]$ , по формуле

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{T_2-<!--\; -\; -->T_1}\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^3(t)dt,}$$x={\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int \limits _{T_{1}}^{T_{2}}f^{3}(t)\,dt,}}$ 

а также для непрерывной функции $f(t)$$f(t)$ , определённой на положительной полуоси:

$x=\underset{T\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\sqrt[3]{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}{f}^3(t)dt.}$$x=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}f^{3}(t)\,dt.}}$ 

Среднее кубическое для периодической функции по положительной полуоси равно среднему кубическому по периоду функции.

Пример вычисленияПравить

Рассмотрим функцию синуса

$x(t)=A\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t),$$x(t)=A\sin(\omega t),$ 

где $t$$t$  — время, $A$$A$  — амплитуда, а $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  — частота в радианах на единицу времени. Тогда

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{T}$$\omega ={\dfrac {2\pi }{T}}$ 

и среднее кубическое вычисляется как

$x=\sqrt[3]{\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int <!--\; \int \; -->}}{A}^3{\sin }^3<!--\; \; -->\left(\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{T}t\right)dt}=\frac{A}{\sqrt[3]{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}\sqrt[3]{\underset{0}{\overset{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}{\sin }^3<!--\; \; -->(t)dt.}$$x={\sqrt[{3}]{{\dfrac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}A^{3}\sin ^{3}\left({\dfrac {2\pi }{T}}t\right)\,dt}}={\dfrac {A}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}{\sqrt[{3}]{\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{3}(t)\,dt.}}$