Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Для любых вещественных чисел $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, принадлежащих отрезку $[m;M]$$[m;M]\;$, где $M⩾<!--\; ⩾\; -->m>0$$M\geqslant m>0$, имеет место неравенство $\left(x_1+x_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{x_n}\right)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{(m+M{)}^2}{4mM}\cdot <!--\; \cdot \; -->n^2.$$\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2}.$ Более того, если $n$$\;n$ нечётно, то $\left(x_1+x_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{x_n}\right)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{(m+M{)}^2}{4mM}\cdot <!--\; \cdot \; -->n^2-<!--\; -\; -->\frac{(m-<!--\; -\; -->M{)}^2}{4mM}.$$\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}\cdot n^{2}-{\frac {(m-M)^{2}}{4mM}}.$

ИсторияПравить

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье венгерского математика Миклоша Швейцера. Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают с именем Александру Йоана Лупаша, который доказал это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенстваПравить

• (В. Серпинский) Для любых положительных чисел $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$  верно

$\left(x_1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{x_n}\right)⩽<!--\; ⩽\; -->{\left(\frac{A}{G}\right)}^n{n}^2,$$\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)\leqslant \left({\frac {A}{G}}\right)^{n}n^{2},$ 

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ .

СледствияПравить

• (О. Шиша) Для любых вещественных чисел $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ , принадлежащих отрезку $[m;M]$$[m;M]$ , где $0<m\leqslant M$ , верно неравенство:

$\frac{x_1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n}{n}-<!--\; -\; -->\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{x_n}}\le <!--\; \le \; -->(M-<!--\; -\; -->m{)}^2.$${\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}-{\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq (M-m)^{2}.$ 

• (Z.-C. Hao). Вещественные числа $x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n$$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$  принадлежат отрезку $[m;M]$$[m;M]$ , где $0<m\leqslant M$ . При условии $0<q\leqslant p<1$  и $p+q=1$$p+q=1$  имеет место неравенство:

${\left(x_1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_n\right)}^p{\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{x_n}\right)}^q⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{n(pM+qm)}{m^q{M}^q}.$$\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)^{p}\left({\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{q}\leqslant {\frac {n(pM+qm)}{m^{q}M^{q}}}.$ 

ОбобщенияПравить

• Неравенство Канторовича (англ.)

ИсточникПравить

• А. Храбров. Неравенство Швейцера // В сб. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике, 2005 год. Невский диалект, 2005. -- С. 89--96.. Архивировано 20 мая 2006 года.