Спектр оператора

Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.

Конечномерный случайПравить

Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(A)$$\sigma (A)$ ) называется множество его собственных значений.

Квадратную матрицу порядка $n$$n$  можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В этом случае говорят о спектре матрицы.

Общее определениеПравить

Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$ . Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор $R(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$R(\lambda )=(A-\lambda I)^{{-1}}$ , называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(A)$$\sigma (A)$ . Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.

Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:

1. дискретным (точечным) спектром ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_p(A)$$\sigma _{p}(A)$  называется множество таких $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , при которых оператор $A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I$$A-\lambda I$  не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
2. непрерывным спектром ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_c(A)$$\sigma _{c}(A)$  называется множество значений $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ , при которых резольвента $(A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$(A-\lambda I)^{{-1}}$  определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор $A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I$$A-\lambda I$  инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
3. остаточным спектром ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_r(A)$$\sigma _{r}(A)$  называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор $A-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}I$$A-\lambda I$  инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).

Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через $r(A)$$r(A)$ . При этом выполняется равенство $r(A)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\Vert <!--\; \Vert \; -->A^n{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^{1/n}$$r(A)=\lim _{{n\to \infty }}\|A^{n}\|^{{1/n}}$ .

В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>r(A)$$\lambda >r(A)$  она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке $z=0$$z=0$ .

Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (англ. spectral gap).

В квантовой механикеПравить

Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.

Непрерывный спектр в квантовой механикеПравить

Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция $\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}$$\Psi$  может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.

См. такжеПравить

• Проектор (алгебра)
• Спектр алгебры

ЛитератураПравить

• Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 5 Слу — Я. — 1248 с.