Гамильтониан (квантовая механика)

Эта статья — об операторе Гамильтона в квантовой механике. О функции Гамильтона в классической механике см. Функция Гамильтона.

Гамильтониа́н ($\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}$$\hat H$ или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Уравнение ШрёдингераПравить

Основная статья: Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если $|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)⟩$$\left|\psi (t)\right\rangle$  — состояние системы в момент времени t, то

$H|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)⟩=i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)⟩.$$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .$ 

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

$|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(t)⟩=e^{-<!--\; -\; -->iHt/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(0)⟩.$$\left|\psi (t)\right\rangle =e^{{-iHt/\hbar }}\left|\psi (0)\right\rangle .$ 

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

$U=e^{-<!--\; -\; -->iHt/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$$U=e^{{-iHt/\hbar }}$ 

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для гамильтониана в координатном представленииПравить

Свободная частицаПравить

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$ 

и для трёх измерений:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$ 

Потенциальная ямаПравить

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+V_0$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$ 

В трёх измерениях:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2+V_0$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$ 

Простой гармонический осцилляторПравить

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

$V=\frac{k}{2}{x}^2=\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}{x}^2,$$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2},$ 

где угловая частота $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2=\frac{k}{m},$$\omega ^{2}={\frac {k}{m}},$ 

поэтому гамильтониан имеет вид

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}{x}^2.$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}.$ 

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}{r}^2,$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2},$ 

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

$r^2=\mathbf{r}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{r}=|\mathbf{r}{|}^2=x^2+y^2+z^2$$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

$\begin{array}{r}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}=-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}\right)+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}(x^2+y^2+z^2)\\ =\left(-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}{x}^2\right)+\left(-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{y}^2}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}{y}^2\right)+\left(-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}^2}+\frac{m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}{2}{z}^2\right)\end{array}$${\begin{aligned}{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\\\end{aligned}}$ 

В квантовой теории поляПравить

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

СсылкиПравить

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9.