Резольвента интегрального уравнения

Резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим интегральное уравнение:

$f(s)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}K(s,t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)dt=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s).(\ast <!--\; \ast \; -->)$$f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)$

Резольвентой интегрального уравнения, или его разрешающим ядром называется такая функция $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s,t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$$\Gamma(s,\;t,\;\lambda)$ переменных $s$$s$, $t$$t$ и параметра $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$, что решение уравнения (*) представляется в виде:

$u^{\ast <!--\; \ast \; -->}(s)=f(s)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s,t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})f(t)dt.$$u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.$

При этом $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ не должна быть собственным числом уравнения (*).

ПримерПравить

Пусть уравнение (*) имеет ядро $K(s,t)=s+t$$K(s,\;t)=s+t$ , то есть само уравнение имеет вид:

$\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(s)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}(s+t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)dt=f(s).$$\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).$ 

Тогда его резольвентой является функция

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(s,t,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})=\frac{s+t+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\left(\frac{s+t}{2}+st+\frac{1}{3}\right)}{1+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2}{12}}.$$\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1}{3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.$ 

Резольвента линейного оператораПравить

Пусть $A$$A$  — линейный оператор. Тогда его резольвентой называется операторнозначная функция

$R(z)=(A-<!--\; -\; -->zE{)}^{-<!--\; -\; -->1}$$R(z)=(A-zE)^{-1}$ ,

где $E$$E$  — тождественный оператор, а $z$$z$  — комплексное число, из резольвентного множества, то есть такого множества, что $R(z)$$R(z)$  есть ограниченный оператор

Данное понятие используется для решения неоднородного уравнения Фредгольма второго рода.

См. такжеПравить

• Спектр оператора