Слабая сходимость

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

ОпределениеПравить

Пусть $K$$K$  — топологическое поле, $X$$X$  — топологическое векторное пространство над полем $K$$K$  и $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$ — сопряжённое пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на $X$$X$ . Тогда слабой топологией пространства $X$$X$  называется самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

Предбазу слабой топологии образуют множества

$V_{x,f,\varepsilon }=\{\,y\in X:|f(y)-f(x)|<\varepsilon \,\}$ 

для всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , $f\in <!--\; \in \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f\in X^{*}$ , и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ .

Иначе говоря, последовательность элементов $x_n\in <!--\; \in \; -->X$$x_{n}\in X$  слабо сходится к элементу $x_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\in <!--\; \in \; -->X$$x_{\infty }\in X$ , если для любого непрерывного линейного функционала $f\in <!--\; \in \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f\in X^{*}$  последовательность чисел $\{f(x_n)\}$$\{f(x_{n})\}$  сходится к $f(x_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}})$$f(x_{\infty })$ .

Слабой* топологией в $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$  называют топологию, предбазу которой образуют множества

$V_{f,x,\varepsilon }^{*}=\{\,g\in X^{*}:|g(x)-f(x)|<\varepsilon \,\}$ 

для всех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , $f\in <!--\; \in \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f\in X^{*}$ , и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ .

Иначе говоря, последовательность функций $f_n\in <!--\; \in \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f_{n}\in X^{*}$  слабо* сходится к функции $f_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\in <!--\; \in \; -->X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f_{\infty }\in X^{*}$ , если для любого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , последовательность чисел $f_n(x)$$f_{n}(x)$  сходится к $f_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(x)$$f_{\infty }(x)$ .

ЗамечанияПравить

Сходимость в пространстве $X$$X$ , определяемая его исходной топологией, называется сильной.

СвойстваПравить

• Если последовательность сходится к некоторому элементу сильно, то она сходится к этому элементу и слабо.
• В конечномерном евклидовом пространстве понятия сильной и слабой сходимости совпадают.
• В случае, когда $X$$X$  — нормированное векторное пространство, имеют место следующие утверждения. Слабо сходящаяся последовательность элементов $\{x_n\}\subset <!--\; \subset \; -->X$$\{x_{n}\}\subset X$  является ограниченной, то есть $\Vert <!--\; \Vert \; -->x_n\Vert <!--\; \Vert \; -->\le <!--\; \le \; -->C$$\|x_{n}\|\leq C$  для некоторого положительного числа $C$$C$ . Последовательность элементов $\{x_n\}\subset <!--\; \subset \; -->X$$\{x_{n}\}\subset X$  слабо сходится к элементу $x_0\in <!--\; \in \; -->X$$x_{0}\in X$ , если она является ограниченной и $\{f(x_n)\}$$\{f(x_{n})\}$  сходится к $f(x_0)$$f(x_{0})$  для каждого непрерывного линейного функционала из некоторого подмножества пространства $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$ , линейная оболочка которого всюду плотна в $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$ .
• Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки. Замкнутый единичный шар пространства $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$  компактен в слабой* топологии пространства $X^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$X^{*}$ .
• Теорема Эберлейна — Шмульяна. Подмножество $A$$A$  банахова пространства $X$$X$  слабо компактно тогда и только тогда, когда оно слабо секвенциально компактно.

ПримерПравить

Пусть $X=C[a,b]$$X=C[a,b]$  — пространство непрерывных функций на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций $\{x_n(\cdot <!--\; \cdot \; -->)\}$$\{x_{n}(\cdot )\}$  слабо сходится к функции $x_0(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$x_{0}(\cdot )$  тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) она является равномерно ограниченной, то есть $|x_n(t)|\le <!--\; \le \; -->C$$|x_{n}(t)|\leq C$  при всех $t\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$t\in [a,b]$  для некоторого положительного числа $C$$C$ , и 2) $\{x_n(\cdot <!--\; \cdot \; -->)\}$$\{x_{n}(\cdot )\}$  сходится к $x_0(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$$x_{0}(\cdot )$  поточечно, то есть числовая последовательность $\{x_n(t)\}$$\{x_{n}(t)\}$  сходится к $x_0(t)$$x_{0}(t)$  для любого $t\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$t\in [a,b]$ .

ЛитератураПравить

• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, — М.: Наука, 1965.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — Любое издание.
• Рудин У. Функциональный анализ, — М.: Мир, 1975.