Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A:X\rightarrow Y$ $A:X\rightarrow Y$ , действующий из линейного топологического пространства $\text{[math]}$ X в линейное топологическое пространство $\text{[math]}$ Y — это линейное отображение из $\text{[math]}$ X в $\text{[math]}$ Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда $\text{[math]}$ Y многомерно. Если $\text{[math]}$ Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ или $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал^[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из $\text{[math]}$ X в $\text{[math]}$ Y обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L(X,Y)$ $L(X,Y)$ .

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

СвойстваПравить

Если $\text{[math]}$ X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём $\text{[math]}$ X).
Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.^[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
Если $\text{[math]}$ X и $\text{[math]}$ Y — банаховы пространства, и образ оператора $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A\in L(X,Y)$ совпадает с пространством $\text{[math]}$ Y, то существует обратный оператор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A^{-1}\in L(Y,X)$ (т.н. теорема об обратном операторе).
Множество всех линейных непрерывных операторов из $\text{[math]}$ X в $\text{[math]}$ Y само является линейным топологическим пространством. Если $\text{[math]}$ X и $\text{[math]}$ Y нормированы, то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L(X,Y)$ также нормировано операторной нормой. Если $\text{[math]}$ Y — банахово, то и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L(X,Y)$ является таковым, независимо от полноты $\text{[math]}$ X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств $\text{[math]}$ X и $\text{[math]}$ Y. Например, если $\text{[math]}$ X — конечномерное пространство, то оператор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A\in L(X,Y)$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $R(A)$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы^[3].

Непрерывность и сходящиеся последовательностиПравить

Линейный оператор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A:X\rightarrow Y$ , действующий из линейного топологического пространства $\text{[math]}$ X в линейное топологическое пространство $\text{[math]}$ Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{x_{n}\}$ точек $\text{[math]}$ X, из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x_{n}\rightarrow x_{0}$ следует $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$ .

Пусть ряд $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ сходится и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A:X\rightarrow Y$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

\text{[math]}

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах линейный оператор можно применять почленно.

Если $\text{[math]}$ X, $\text{[math]}$ Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если

\text{[math]}

x_{n}\to x

слабо, то

\text{[math]}

Ax_{n}\to Ax

слабо.

Связанные определенияПравить

Линейный оператор называется ограниченным снизу, если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$ .

См. такжеПравить

Сопряжённый оператор

ЛитератураПравить

Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.

ПримечанияПравить

↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
↑ Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.
↑ Также, в конечномерном пространстве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ с базисом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ , линейный непрерывный оператор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ можно представить в виде $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{k}\in X^{*}$ — функции из сопряжённого пространства.

[1] Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.

[Naimark-2] Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с.

[3] Также, в конечномерном пространстве $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X$ с базисом $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\{x_{k}\}_{k=1}^{n}$ , линейный непрерывный оператор $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $A$ можно представить в виде $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ , где $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $f_{k}\in X^{*}$ — функции из сопряжённого пространства.

[1]

[2]

[3]