Синфазная и квадратурная составляющие сигнала

Синфазная и квадратурная составляющие — результат представления аналогового сигнала $S(t)$$S(t)$ в виде комбинации:

Пример как фазомодулированный сигнал (зелёная линия) разлагается в две составляющие: синфазную $I(t)$$I(t)$ и квадратурную $Q(t)$$Q(t)$.

$S(t)=A_1(t)\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t)+A_2(t)\sin <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0}t)$$S(t)=A_{1}(t)\cos(\omega _{0}t)+A_{2}(t)\sin(\omega _{0}t)$,

где A1(t) называется синфазной составляющей (или I-составляющей, от англ. in-phase) сигнала $S(t)$$S(t)$, минус A2(t) называется квадратурной составляющей (или Q-составляющей, от англ. quadrature) сигнала $S(t)$$S(t)$:

$I(t)=A_1(t)$$I(t)=A_{1}(t)$

$Q(t)=-<!--\; -\; -->A_2(t)$$Q(t)=-A_{2}(t)$

Если прямой спектр сигнала S(t) ограничен интервалом частот [ω1, ω2], то ω0=(ω2+ω1)/2. Хоть это разложение может быть получено для любого сигнала с конечным спектром, наибольший интерес оно представляет для узкополосных сигналов, то есть для сигналов с небольшой шириной спектра. Для таких сигналов, $A_1(t)$$A_{1}(t)$ и $A_2(t)$$A_{2}(t)$ меняются медленно по сравнению с самим сигналом.

Это разложение лежит в основе квадратурной амплитудной модуляции (КАМ, англ. QAM). На основе же КАМ созданы и широко используются такие виды модуляции, как BPSK и QPSK.

Гармонический сигналПравить

Известно, что линейная комбинация гармонических колебаний с одинаковой частотой есть гармоническое колебание с той же частотой. Верно и обратное: любой гармонический сигнал $S(t)=A\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$S(t)=A\sin(\omega t+\varphi )$  можно разложить в сумму двух сигналов той же частоты, но смещённых по фазе. Удобней всего взять сдвиг по фазе на $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2$$\pi/2$ . Это значит, что любое гармоническое колебание можно представить в виде суммы двух функций $\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$\cos(\omega t)$  и $\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2})=\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$\cos(\omega t-{\frac {\pi }{2}})=\sin(\omega t)$ :

$S(t)=A\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=A_1\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+A_2\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$S(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A_{1}\sin(\omega t)+A_{2}\cos(\omega t)$ 

Здесь $A_1=A\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),A_2=A\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$A_{1}=A\cos(\varphi ),A_{2}=A\sin(\varphi )$ . Это подобно тому, как вектор в плоскости с полярными координатами $(A,\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$(A,\varphi )$  разлагается в сумму двух векторов $A_1\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{x}+A_2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{y}$$A_{1}{\vec {x}}+A_{2}{\vec {y}}$ , где $A_1=A\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}),A_2=A\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$A_{1}=A\cos(\varphi ),A_{2}=A\sin(\varphi )$  — декартовы координаты исходного вектора.

Квазигармонический сигналПравить

Если сигнал не является чистым гармоническим сигналом, но является квазигармоническим, то есть сигналом вида $S(t)=A(t)sin(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))$$S(t)=A(t)sin(\omega t+\varphi (t))$ , где амплитуда $A(t)$$A(t)$  и фаза $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)$$\varphi (t)$  меняются со временем, но не очень быстро по сравнению с частотой $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , то мы всё равно можем разложить $S(t)$$S(t)$  таким же образом:

$S(t)=A_1(t)\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)+A_2(t)\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$S(t)=A_{1}(t)\cos(\omega t)+A_{2}(t)\sin(\omega t)$ 

Но теперь $A_1,A_2$$A_{1},A_{2}$  будут тоже зависеть от времени. Это и есть разложение на синфазную и квадратурную составляющие.

Комплексная огибающаяПравить

Запрос «Комплексная огибающая» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Для понятия смысла I/Q разложения полезно иметь представление о комплексной огибающей. Используя формулу Эйлера, комплексный сигнал $Z(t)=A(t)cos(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))+jA(t)sin(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))$$Z(t)=A(t)cos(\omega t+\varphi (t))+jA(t)sin(\omega t+\varphi (t))$ , где $j$$j$  — мнимая единица, можно представить в виде $Z(t)=A(t)e^{j(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))}$$Z(t)=A(t)e^{j(\omega t+\varphi (t))}$ , а в случае неравных значений амплитуд синусоидальной и косинусоидальной составляющих получим $Z(t)=A_1(t)cos(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))+j{A}_2(t)sin(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))$$Z(t)=A_{1}(t)cos(\omega t+\varphi (t))+jA_{2}(t)sin(\omega t+\varphi (t))$  и тогда $Z(t)=\sqrt{A_1(t{)}^2+A_2(t{)}^2}{e}^{j(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))}$$Z(t)={\sqrt {A_{1}(t)^{2}+A_{2}(t)^{2}}}e^{j(\omega t+\varphi (t))}$ 

Квадратурная модуляцияПравить

Основная статья: Квадратурная модуляция

Основное применение I/Q разложения — это квадратурная модуляция. Радиотехнический сигнал $S(t)$$S(t)$  описывается такими основными параметрами, как: амплитуда $A(t)$$A(t)$ , несущая частота ω и начальная фаза φ.

$S(t)=A(t)sin(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$S(t)=A(t)sin(\omega t+\varphi )$ 

Каждый из этих параметров с течением времени может меняться в определённых пределах. В характере изменения того или иного параметра может содержаться передаваемая с помощью сигнала информация. Изменение того или иного параметра сигнала называется модуляцией. Различают также несущий сигнал и модулирующий сигнал (тот, который «накладывается» на несущий). Аргумент косинуса называется полной фазой $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(t)=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\Phi (t)=\omega t+\varphi$ . Таким образом, можно говорить о том, что промодулированными могут быть либо амплитуда $A(t)$$A(t)$  (амплитудная модуляция), либо полная фаза $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(t)$$\Phi(t)$  (частотная и фазовая модуляции). Несущая частота сигнала является величиной постоянной, поэтому при модуляции можно управлять всего двумя параметрами — амплитудой и фазой. С учётом вышесказанного сигнал можно представить в виде

$S(t)=A(t)cos(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t))$$S(t)=A(t)cos(\omega t+\varphi (t))$ 

Основная идея квадратурной модуляции заключается в том, что сигнал $S(t)$$S(t)$  представляется в виде суммы двух синусоидальных составляющих, разность фаз которых равна 90° (π/2). Первая составляющая: $I=I(t)cos(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$I = I(t) cos(\omega t)$ . Вторая составляющая: $Q=Q(t)cos(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2)=Q(t)sin(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t)$$Q=Q(t)cos(\omega t + \pi / 2) = Q(t) sin(\omega t)$ . Путём изменения амплитуды I/Q-составляющих и их дальнейшим суммированием можно получить сигнал любого вида модуляции.

См. такжеПравить

• Сигнальное созвездие
• Комплексная амплитуда
• Квадратурная модуляция
• Однополосная модуляция

ЛитератураПравить

• Gast, Matthew. 802.11 Wireless Networks: The Definitive Guide (англ.). — 2. — Sebastopol,CA: O’Reilly Media, 2005. — Vol. 1. — P. 284. — ISBN 0596100523.
• Franks, L.E. Signal Theory (неопр.). — Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1969. — С. 82. — (Information theory). — ISBN 0138100772.
• Steinmetz, Charles Proteus. Lectures on Electrical Engineering (неопр.). — 1. — Mineola,NY: Dover Publications, 2003. — Т. 3. — ISBN 0486495388.
• Steinmetz, Charles Proteus (1917). Theory and Calculations of Electrical Apparatus 6 (1 ed.). New York: McGraw-Hill Book Company. B004G3ZGTM.
• Wade, Graham. Signal Coding and Processing (неопр.). — 2. — Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — С. 10. — ISBN 0521412307.
• Naidu, Prabhakar S. Modern Digital Signal Processing: An Introduction (англ.). — Pangbourne RG8 8UT, UK: Alpha Science Intl Ltd, 2003. — P. 29—31. — ISBN 1842651331.

СсылкиПравить

• I/Q Data for Dummies  (англ.)