Сигма-конечная мера

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализе — мера такая, что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

ОпределениеПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\mathcal{F},\mu)$  — пространство с мерой. Мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств $\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\subset <!--\; \subset \; -->\mathcal{F}$$\{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$ , такое, что $\mu(A_i) < \infty,\; i\in \mathbb{N}$  и

$X=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}}{A}_i$$X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i$ .

ПримерыПравить

• Мера Лебега $m$$m$  на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  σ-конечна, так как

$\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots$ .

• Счётная мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$ , то есть такая, что $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(\{x\})=1,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$\mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R}$  не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

ЛитератураПравить

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.